Calcule a aceleração gravitacional abaixo da superfície da Terra, a uma distãncia r do centro da Terra. Suponha que \rho_{S} é constante.

Passo 1

O enunciado pede a aceleração gravitacional a uma distância r do centro da Terra, quando estamos no interior dela (ou seja, abaixo da superfície). O modelo é de densidade constante \rho_{S}. Para resolver, vamos usar o Teorema da Casca Esférica de Newton (que diz que, no interior de uma esfera de densidade uniforme, apenas a massa contida em um raio menor que r contribui para o campo gravitacional) e a lei da gravitação universal de Newton.

Passo 2

Pelo Teorema da Casca Esférica, toda a massa da Terra que está em camadas com raio maior que r não exerce força sobre um ponto a distância r do centro. Assim, só importa a massa contida no interior da esfera de raio r.

Passo 3

Calculemos essa massa interna M(r). Como a densidade é constante,
M(r)=\rho_{S}\times\text{(volume da esfera de raio }r) =\rho_{S}\,\frac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 4

A lei da gravitação universal diz que, para massa pontual M(r) a distância r, a aceleração gravitacional tem módulo
g(r)=\frac{G\,M(r)}{r^{2}} =\frac{G}{r^{2}}\Bigl(\rho_{S}\,\frac{4}{3}\pi r^{3}\Bigr) =\frac{4}{3}\,\pi\,G\,\rho_{S}\,r.
O sinal (direção) é radial para dentro, mas o módulo cresce linearmente com r.

Resposta

g(r)=\frac{4}{3}\,\pi\,G\,\rho_{S}\,r.

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