Calcule o campo gravitacional no eixo de um disco fino de raio R e massa M a uma distância z do centro. Considere que o disco possui uma densidade superficial de massa constante dada por \sigma.

Passo 1

O enunciado pede o campo gravitacional no eixo de um disco fino de raio R e massa M, a uma distância z do centro, sabendo que a densidade superficial de massa é constante e igual a \sigma.
O conteúdo é integração por somatório de discos ou anéis elementares usando a lei de Gauss para gravitação (ou, de modo mais direto, a superposição dos campos de anéis). Vamos:
  1. dividir o disco em anéis de raio variável r e espessura dr;
  2. escrever a contribuição de cada anel ao campo no ponto do eixo;
  3. integrar de r=0 até r=R.

Passo 2

Considere um anel de raio r e largura dr. A massa desse anel é
dM = \sigma\,(2\pi r\,dr).
Em qualquer ponto do eixo a uma distância z do plano do disco, a contribuição de campo gravitacional desse anel aponta ao longo do eixo e vale
dE_z = G\,\frac{dM}{(r^2+z^2)}\cos\theta,
onde \cos\theta = \tfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}. Logo
dE_z = G\,\frac{\sigma\,2\pi r\,dr}{(r^2+z^2)}\;\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}} =2\pi G\sigma\,\frac{z\,r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 3

Agora integramos de r=0 até r=R:
E_z = \int_{0}^{R}2\pi G\sigma\,\frac{z\,r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
Faça a substituição u = r^2+z^2, de modo que du = 2r\,dr. Então
E_z =2\pi G\sigma\,z \int_{u=z^2}^{z^2+R^2}\frac{1}{2}\,u^{-3/2}\,du = \pi G\sigma\,z\bigl[-2\,u^{-1/2}\bigr]_{z^2}^{z^2+R^2}.
Isso dá
E_z =\pi G\sigma\,z\Bigl(-2\bigl[(z^2+R^2)^{-1/2}-z^{-1}\bigr]\Bigr) =2\pi G\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr).

Passo 4

O campo total aponta em sentido a reduzir z, ou seja, no sentido -\hat k. Logo o vetor campo é
\mathbf{g}(z) =-2\pi G\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr)\,\hat k.
Se quiser expressar em termos de M, use \sigma = \tfrac{M}{\pi R^2}, obtendo
\mathbf{g}(z) =-\frac{2GM}{R^2}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr)\,\hat k.

Resposta

\mathbf{g}(z) =-2\pi G\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr)\,\hat k \quad\text{ou}\quad \mathbf{g}(z) =-\frac{2GM}{R^2}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr)\,\hat k.

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