Calcule o campo gravitacional no eixo de um disco fino de raio
e massa
a uma distância
do centro. Considere que o disco possui uma densidade superficial de massa constante dada por
.
Passo 1
O enunciado pede o campo gravitacional no eixo de um disco fino de raio
e massa
, a uma distância
do centro, sabendo que a densidade superficial de massa é constante e igual a
.
O conteúdo é integração por somatório de discos ou anéis elementares usando a lei de Gauss para gravitação (ou, de modo mais direto, a superposição dos campos de anéis). Vamos:
O conteúdo é integração por somatório de discos ou anéis elementares usando a lei de Gauss para gravitação (ou, de modo mais direto, a superposição dos campos de anéis). Vamos:
- dividir o disco em anéis de raio variável
e espessura ; - escrever a contribuição de cada anel ao campo no ponto do eixo;
- integrar de
até .
Passo 2
Considere um anel de raio
e largura
. A massa desse anel é
Em qualquer ponto do eixo a uma distância
do plano do disco, a contribuição de campo gravitacional desse anel aponta ao longo do eixo e vale
onde
. Logo
Passo 3
Agora integramos de
até
:
Faça a substituição
, de modo que
. Então
Isso dá
Passo 4
O campo total aponta em sentido a reduzir
, ou seja, no sentido
. Logo o vetor campo é
Se quiser expressar em termos de
, use
, obtendo