Mostre que \frac{\hat{p}_{x}^{2}}{2 m} é hermitiano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador cinético
\frac{\hat p_x^2}{2m}
é hermitiano. Estamos em mecânica quântica, em que
\hat p_x = -\,i\hbar\,\frac{d}{dx}
e a condição de hermiticidade de um operador \hat A é
\langle \psi|\hat A\varphi\rangle = \langle \hat A\psi|\varphi\rangle
para quaisquer funções de onda \psi e \varphi adequadas (que se anulam nas fronteiras do domínio).

Passo 2

Escrevemos explicitamente o produto interno que envolve \hat p_x^2/(2m):
\langle \psi \bigm|\frac{\hat p_x^2}{2m}\varphi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\overline{\psi(x)}\,\frac{1}{2m}\bigl(-\hbar^2\bigr)\frac{d^2\varphi}{dx^2}\,dx.
Ou seja,
I = -\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\psi}\,\varphi''\,dx.

Passo 3

Para transferir a derivada de \varphi para \overline\psi, aplicamos integração por partes duas vezes. Na primeira vez:
\int \overline\psi\,\varphi''\,dx = \Bigl[\overline\psi\,\varphi'\Bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int \overline\psi'\,\varphi'\,dx.
Como \psi e \varphi tendem a zero no infinito, o termo de contorno some:
\int \overline\psi\,\varphi''\,dx = -\int \overline\psi'\,\varphi'\,dx.

Passo 4

Agora integramos por partes o termo \int \overline\psi'\,\varphi'\,dx:
\int \overline\psi'\,\varphi'\,dx = \Bigl[\overline\psi'\,\varphi\Bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int \overline\psi''\,\varphi\,dx.
De novo o termo de contorno é zero. Logo
\int \overline\psi\,\varphi''\,dx = -\bigl(-\!\int \overline\psi''\,\varphi\,dx\bigr) = \int \overline\psi''\,\varphi\,dx.

Passo 5

Substituindo em I, obtemos
I = -\frac{\hbar^2}{2m}\int \overline\psi\,\varphi''\,dx = -\frac{\hbar^2}{2m}\int \overline{\psi''}\,\varphi\,dx = \int \overline{\bigl(-\hbar^2\psi''/(2m)\bigr)}\,\varphi\,dx.
Mas -\hbar^2\psi''/(2m) = \bigl(\hat p_x^2/(2m)\bigr)\psi. Portanto
\langle \psi \bigm|\frac{\hat p_x^2}{2m}\varphi\rangle = \langle \frac{\hat p_x^2}{2m}\psi \bigm|\varphi\rangle,
o que mostra que \frac{\hat p_x^2}{2m} é hermitiano.

Resposta

O operador \displaystyle \frac{\hat p_x^2}{2m} satisfaz
\langle \psi|\tfrac{\hat p_x^2}{2m}\,\varphi\rangle = \langle \tfrac{\hat p_x^2}{2m}\,\psi|\varphi\rangle
e, portanto, é hermitiano.

Exercícios relacionados