Mostre que
é hermitiano.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador cinético
é hermitiano. Estamos em mecânica quântica, em que
e a condição de hermiticidade de um operador
é
para quaisquer funções de onda
e
adequadas (que se anulam nas fronteiras do domínio).
Passo 2
Escrevemos explicitamente o produto interno que envolve
:
Ou seja,
Passo 3
Para transferir a derivada de
para
, aplicamos integração por partes duas vezes. Na primeira vez:
Como
e
tendem a zero no infinito, o termo de contorno some:
Passo 4
Agora integramos por partes o termo
:
De novo o termo de contorno é zero. Logo
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Mas
. Portanto
o que mostra que
é hermitiano.
Resposta
O operador
satisfaz
e, portanto, é hermitiano.