Calcule a aceleração gravitacional abaixo da superfície da Terra, supondo que a densidade aumenta linearmente com a distãncia ao centro da Terra
. Suponha
a densidade total da Terra na superfície.
Passo 1
O enunciado pede a aceleração gravitacional
no interior da Terra, supondo que a densidade varia linearmente com a distância ao centro. O conteúdo é gravitação e integração em coordenadas esféricas. Vamos modelar a densidade, calcular a massa interna e aplicar a lei de Newton para gravitação.
Passo 2
Modelamos a densidade como
onde
é constante. Como na superfície (raio
) a densidade vale
, temos
Passo 3
A massa contida num raio
é
Substituindo
, fica
Passo 4
Pela lei de Newton,
Resposta
onde
.