Calcule a aceleração gravitacional abaixo da superfície da Terra, supondo que a densidade aumenta linearmente com a distãncia ao centro da Terra r. Suponha \rho_{S} a densidade total da Terra na superfície.

Passo 1

O enunciado pede a aceleração gravitacional g(r) no interior da Terra, supondo que a densidade varia linearmente com a distância ao centro. O conteúdo é gravitação e integração em coordenadas esféricas. Vamos modelar a densidade, calcular a massa interna e aplicar a lei de Newton para gravitação.

Passo 2

Modelamos a densidade como
\rho(r)=\alpha\,r,
onde \alpha é constante. Como na superfície (raio R) a densidade vale \rho_{S}, temos
\alpha\,R=\rho_{S} \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\frac{\rho_{S}}{R}.

Passo 3

A massa contida num raio r\le R é
m(r)=\int_{0}^{r}4\pi r'^{2}\,\rho(r')\,dr' =\int_{0}^{r}4\pi r'^{2}\,\alpha r'\,dr' =4\pi\alpha\int_{0}^{r}r'^{3}\,dr' =\pi\alpha\,r^{4}.
Substituindo \alpha=\rho_{S}/R, fica
m(r)=\frac{\pi\,\rho_{S}}{R}\,r^{4}.

Passo 4

Pela lei de Newton,
g(r)=\frac{G\,m(r)}{r^{2}} =G\;\frac{\pi\,\rho_{S}}{R}\;\frac{r^{4}}{r^{2}} =G\,\pi\,\rho_{S}\,\frac{r^{2}}{R}.

Resposta

g(r) =G\,\pi\,\rho_{S}\,\frac{r^{2}}{R} \quad\Longleftrightarrow\quad g(r)=g_{S}\,\frac{r^{2}}{R^{2}},
onde g_{S}=g(R)=G\,\pi\,\rho_{S}\,R.

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