Três massas estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Calcule a força gravitacional resultante sobre a massa m_{1}.
m_{1}=m, \quad m_{2}=2 m, \quad m_{3}=3 m

Passo 1

O enunciado diz que três massas estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado a:
\,m_{1}=m,\;m_{2}=2m,\;m_{3}=3m.
Pede a força gravitacional resultante sobre m_{1}. Vamos usar a lei da gravitação universal e decompor vetores em componentes cartesianas.

Passo 2

Escolhemos coordenadas tais que m_{1} esteja na origem, m_{2} em (a,0) e m_{3} em \bigl(\tfrac{a}{2},\tfrac{\sqrt3\,a}{2}\bigr).
A força gravitacional que m_j exerce sobre m_1 tem módulo
F_{1j} = G\,\frac{m_{1}\,m_{j}}{a^2}
e direção da origem para a posição de m_j.

Passo 3

Para m_{2}:
F_{12} = G\,\frac{m\cdot2m}{a^2} = \frac{2Gm^2}{a^2}
e como m_{2} está em (a,0),
\vec F_{12} = \frac{2Gm^2}{a^2}\,\hat\imath.

Passo 4

Para m_{3}:
F_{13} = G\,\frac{m\cdot3m}{a^2} = \frac{3Gm^2}{a^2},
direção 60^\circ acima do eixo x. Então
\vec F_{13} = \frac{3Gm^2}{a^2}\Bigl(\cos60^\circ\,\hat\imath+\sin60^\circ\,\hat\jmath\Bigr) = \frac{3Gm^2}{2a^2}\,\hat\imath + \frac{3\sqrt3\,Gm^2}{2a^2}\,\hat\jmath.

Passo 5

Somando os vetores:
\vec F = \vec F_{12}+\vec F_{13} = \frac{2Gm^2}{a^2}\,\hat\imath + \Bigl(\frac{3Gm^2}{2a^2}\,\hat\imath+\frac{3\sqrt3\,Gm^2}{2a^2}\,\hat\jmath\Bigr) = \frac{7Gm^2}{2a^2}\,\hat\imath + \frac{3\sqrt3\,Gm^2}{2a^2}\,\hat\jmath.
O módulo é
|\vec F| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{7Gm^2}{2a^2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{3\sqrt3\,Gm^2}{2a^2}\Bigr)^2} = \frac{Gm^2}{a^2}\,\sqrt{\frac{49+27}{4}} = \frac{\sqrt{19}\,Gm^2}{a^2},
e a direção faz o ângulo
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{3\sqrt3/2}{7/2}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{3\sqrt3}{7}\Bigr)
acima do eixo x.

Resposta

A força resultante sobre m_{1} é
\boxed{ \vec F = \frac{7Gm^2}{2a^2}\,\hat\imath + \frac{3\sqrt3\,Gm^2}{2a^2}\,\hat\jmath },
com módulo \displaystyle\frac{\sqrt{19}\,Gm^2}{a^2} e direção \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{3\sqrt3}{7}\bigr) acima do eixo x.

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