Utilizando a relação de fechamento para o espectro discreto, mostre que
\langle\hat{A}\rangle=\langle\psi| \hat{A}|\psi\rangle=\sum_{n} a_{n}\left|\left\langle a_{n} \mid \psi\right\rangle\right|^{2}
onde, \hat{A}\left|a_{n}\right\rangle=a_{n}\left|a_{n}\right\rangle,\left\langle a_{m} \mid a_{n}\right\rangle=\delta_{m, n} e |\psi\rangle=\sum_{n} c_{n}\left|a_{n}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um sistema com espectro discreto de autovalores a_n e autovetores ortonormais \{|a_n\rangle\}, a média de uma observable \hat A no estado |\psi\rangle satisfaz
\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \sum_{n} a_{n}\bigl|\langle a_{n}|\psi\rangle\bigr|^{2}.
Vamos usar a relação de fechamento
\sum_{n}|a_{n}\rangle\langle a_{n}| = \hat I,
além da equação de autovalor \hat A|a_n\rangle=a_n|a_n\rangle e da ortonormalidade \langle a_m|a_n\rangle=\delta_{m,n}.

Passo 2

Inserir a identidade entre \hat A e |\psi\rangle:
\langle\psi|\hat A|\psi\rangle = \langle\psi|\hat A\,\hat I|\psi\rangle = \langle\psi|\hat A\Bigl(\sum_{n}|a_{n}\rangle\langle a_{n}|\Bigr)|\psi\rangle.

Passo 3

Pela linearidade do produto interno e da soma, troca-se a soma para fora:
\langle\psi|\hat A|\psi\rangle = \sum_{n}\langle\psi|\hat A|a_{n}\rangle\,\langle a_{n}|\psi\rangle.

Passo 4

Usar o autovetor para simplificar cada termo:
\hat A|a_{n}\rangle = a_{n}|a_{n}\rangle \quad\Longrightarrow\quad \langle\psi|\hat A|a_{n}\rangle = a_{n}\,\langle\psi|a_{n}\rangle.
Então
\langle\psi|\hat A|\psi\rangle = \sum_{n}a_{n}\,\langle\psi|a_{n}\rangle\,\langle a_{n}|\psi\rangle.

Passo 5

Reconhecer que \langle\psi|a_{n}\rangle=\langle a_{n}|\psi\rangle^{*}, de modo que
\langle\psi|a_{n}\rangle\,\langle a_{n}|\psi\rangle = \bigl|\langle a_{n}|\psi\rangle\bigr|^{2}.
Substituindo volta na soma, obtemos o resultado:

Resposta

\langle\hat{A}\rangle \;=\;\sum_{n} a_{n}\bigl|\langle a_{n}|\psi\rangle\bigr|^{2}.

Exercícios relacionados