Reverta a ordem da iterada e calcule:
integral0^8 integraly^1 / 3^2 yx^7+1 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para a gente reverter a ordem de integração de
integral0^8!integraly^1/3^2yx^7+1,dx,dy
Matéria: integrais duplas (Teorema de Fubini) e técnica de substituição para integrais.
O que vamos precisar:
  1. Desenhar/entender a região de integração e trocar os limites de x e y.
  2. Calcular a integral interna (em y).
  3. Fazer a integral externa (em x) com substituição.

Passo 2

Região original:
  • 0<= y<= 8
  • Para cada y, x vai de x=y^1/3 até x=2.
A condição x>= y^1/3 equivale a y<= x^3.
Como y nunca passa de 8, e x^3 vai de 0 a 8 quando x vai de 0 a 2, a região fica:
0<= x<= 2, 0<= y<= x^3
Ou seja, ao inverter, x vai de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 a x^3.

Passo 3

Reescrevendo o integral com a ordem invertida:
integralx=0^2!integraly=0^x^3yx^7+1,dy,dx
Agora fazemos a integral interna em y. Como 1x^7+1 é constante em y,
integral0^x^3yx^7+1,dy =1x^7+1integral0^x^3y,dy =1x^7+1cdoty^22|0^x^3 =1x^7+1cdotx^62 =x^62,(x^7+1)

Passo 4

Agora a gente integra em x:
integral0^2x^62,(x^7+1),dx =12integral0^2x^6x^7+1,dx
Usamos a substituição
u=x^7+1, du=7x^6,dx Longrightarrow x^6,dx=du7
Quando x=0, u=1; quando x=2, u=2^7+1=129.
Então
12integral0^2x^6x^7+1,dx =12integralu=1^1291ucdotdu7 =114integral1^129duu =114l[ln ur]1^129 =114ln(129)

Resposta

boxed114,ln(129)

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