Calcule alpha, beta, gamma tais que u=(1+alpha, beta, 1), v=(1,-1, gamma), w=(2,1+beta, 0) sejam ortogonais dois a dois.

Passo 1

O enunciado pede para determinar alpha, beta e gamma de modo que os vetores
vec u = (1+alpha,;beta,;1), vec v = (1,;-1,;gamma), vec w = (2,;1+beta,;0)
sejam ortogonais dois a dois.
O conteúdo usado é o produto escalar em R^3:
vec acdotvec b = 0
se e somente se vec a é ortogonal a vec b.

Passo 2

Calculemos vec vcdotvec w = 0:
vec vcdotvec w = 1cdot2 + (-1)cdot(1+beta) + gammacdot0 = 0
ou seja,
2 - (1+beta) = 0 Longrightarrow 1 - beta = 0 Longrightarrow beta = 1

Passo 3

Com beta=1, imponha vec ucdotvec w = 0:
vec ucdotvec w = (1+alpha)cdot2 + betacdot(1+beta) + 1cdot0 = 0
Substituindo beta=1:
2(1+alpha) + 1cdot2 = 0 Longrightarrow 2 + 2alpha + 2 = 0 Longrightarrow 4 + 2alpha = 0 Longrightarrow alpha = -2

Passo 4

Por fim, imponha vec ucdotvec v = 0 para encontrar gamma:
vec ucdotvec v = (1+alpha)cdot1 + betacdot(-1) + 1cdotgamma = 0
Substituindo alpha=-2 e beta=1:
(1-2) - 1 + gamma = 0 Longrightarrow -2 + gamma = 0 Longrightarrow gamma = 2

Resposta

alpha = -2, beta = 1, gamma = 2.

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