Determinar as condições que devem ser satisfeitas pelas direções dos vetores u, v, w de forma que (u cdot w) v=(v cdot w) u.

Passo 1

O enunciado pede para achar as relações entre as direções de u,v e w tais que
(ucdotw),v ;=; (vcdotw),u
O conteúdo é produto escalar e vetores paralelos/ortogonais. Vamos trabalhar o vetor
(ucdotw),v ;-; (vcdotw),u = 0,
e daí inferir condições de dependência linear entre u,v ou perpendicularidade de w.

Passo 2

Suponha que
só pode ocorrer se os coeficientes de e de forem ambos zero. Logo
Isto significa que e a .

Passo 3

Suponha agora que u e v sejam paralelos. Então existe escalar lambdaneq0 tal que u=lambda,v. Substituindo na equação original:
(ucdotw),v = (lambda,vcdotw),v e (vcdotw),u = (vcdotw),(lambda,v) =lambda,(vcdotw),v,
mostrando que a igualdade se satisfaz para qualquer w. Não há, portanto, restrição sobre a direção de w.

Resposta

As direções devem satisfazer uma das seguintes condições:
(a) u e v são paralelos (não importa w),
ou
(b) u e v não são paralelos e então
[
\vec{u}\cdot\vec{w}=0
\quade\quad
\vec{v}\cdot\vec{w}=0,
],
ou seja, w é ortogonal a u e a v.

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