Determinar as condições que devem ser satisfeitas pelas direções dos vetores
de forma que
.
Passo 1
O enunciado pede para achar as relações entre as direções de
e
tais que
O conteúdo é produto escalar e vetores paralelos/ortogonais. Vamos trabalhar o vetor
e daí inferir condições de dependência linear entre
ou perpendicularidade de
.
Passo 2
Suponha que
só pode ocorrer se os coeficientes de
e de
forem ambos zero. Logo
Isto significa que e a
.
Passo 3
Suponha agora que
e
sejam paralelos. Então existe escalar
tal que
. Substituindo na equação original:
mostrando que a igualdade se satisfaz para qualquer
. Não há, portanto, restrição sobre a direção de
.
Resposta
As direções devem satisfazer uma das seguintes condições:
(a) e
são paralelos (não importa
),
ou
(b) e
não são paralelos e então
[
\vec{u}\cdot\vec{w}=0
\quade\quad
\vec{v}\cdot\vec{w}=0,
],
ou seja, é ortogonal a
e a
.
(a)
ou
(b)
[
\vec{u}\cdot\vec{w}=0
\quade\quad
\vec{v}\cdot\vec{w}=0,
],
ou seja,