Calcule alpha de modo que v u=(1,2,2) seja gerado por v v=(alpha-1,1, alpha-2) e v w=(alpha+1, alpha-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) valor(es) de alpha de forma que o vetor u=(1,2,2) seja combinação linear dos vetores v=(alpha-1,1,alpha-2) e w=(alpha+1,alpha-1,2). O conteúdo é combinação linear e vamos precisar montar e resolver um sistema para encontrar coeficientes s e t, além de checar a consistência.

Passo 2

Para afirmar que uinSpanv,w escrevemos u = s,v + t,w e igualamos coordenadas. Isso gera o sistema:
s(alpha-1) + t(alpha+1) = 1, s + t(alpha-1) = 2, s(alpha-2) + 2t = 2

Passo 3

Da segunda equação isolamos s:
s = 2 - t(alpha-1)

Passo 4

Substituímos em s(alpha-1) + t(alpha+1)=1 e, após simplificar, obtemos
t = 3 - 2alphaalpha,(3 - alpha),para alphaneq0,,3

Passo 5

Para garantir que a terceira equação seja satisfeita, substituímos s e t na equação s(alpha-2)+2t=2. A condição de compatibilidade resulta em
3alpha(alpha-3)=0
e daí alpha=0 ou alpha=3.

Passo 6

Nos casos alpha=0 ou alpha=3, observa-se que v e w ficam colineares, então Spanv,w é apenas uma reta. Verificamos que u=(1,2,2) não é múltiplo de v nesses casos, logo u não pode ser gerado por v e w.

Resposta

Não existe valor de alpha que torne u combinação linear de v e w.

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