Seja E=e1, e2, e3 uma base e v f1=v e1+v e2+v e3, v f2=alpha v e1+2 alpha v e2-v e3, v f3=4 v e2+3 v e3.
(a) Para que valores de alpha temos que F=(v f1, v f2, v f3) é uma base?
(b) Nas condições do ítem anterior, ache o valor de alpha para que (1,2,-1)E=(0,1,0)F.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a base canônica E={e₁,e₂,e₃} e três vetores f₁,f₂,f₃ dados em coordenadas de E. A tarefa (a) é determinar para quais valores de α o conjunto F={f₁,f₂,f₃} forma uma base de ℝ³ (isto é, é linearmente independente). Na parte (b) devemos achar α de modo que o vetor com coordenadas (1,2,−1) em E tenha coordenadas (0,1,0) em F.

Passo 2

Para verificar quando F é base, vamos montar a matriz cujas colunas são as coordenadas de f₁,f₂,f₃ na base E. Observando f₁=e₁+e₂+e₃, f₂=αe₁+2αe₂−e₃ e f₃=0·e₁+4e₂+3e₃, a matriz de mudança de base P (de F para E) é:
P= 1 & α & 0 1 & 2α & 4 1 & -1 & 3

Passo 3

Um conjunto de três vetores em ℝ³ é base se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero. Então calculamos det§.
Calculando o determinante:
$$\det§=1\cdot\det det(P)=1cdotdet2α & 4-1 & 3-αcdotdet1 & 41 & 3+0 -α\cdot\det +0
$$

Passo 4

Agora cada menor 2×2:
$$\det det2α & 4-1 & 3=2α·3 - 4·(-1)=6α+4,det1 & 41 & 3=1·3-4·1= -1 =2α·3 - 4·(-1)=6α+4,\quad\det =1·3-4·1= -1
$$

Passo 5

Substituindo:
$$\det§=1·(6α+4) - α·(-1)=6α+4+α=7α+4
$$

Passo 6

Portanto F será base se
7α+4neq0
Isto é,
αneq -47

Passo 7

Para o item (b), queremos que o vetor v com coordenadas (1,2,−1) em E seja (0,1,0) em F. Significa que
v=1·e₁+2·e₂-1·e₃ = 0·f₁ +1·f₂ +0·f₃ = f₂

Passo 8

Como f₂=αe₁+2αe₂−e₃, igualando coordenadas em E temos o sistema:
α=1,2α=2,-1=-1
As duas primeiras equações dão α=1, e a terceira é satisfeita automaticamente. Como 1≠−4/7, a condição de base também vale.

Resposta

a) αneq -tfrac47. b) α=1.

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