Seja uma base e .
(a) Para que valores de temos que é uma base?
(b) Nas condições do ítem anterior, ache o valor de para que .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a base canônica E={e₁,e₂,e₃} e três vetores f₁,f₂,f₃ dados em coordenadas de E. A tarefa (a) é determinar para quais valores de α o conjunto F={f₁,f₂,f₃} forma uma base de ℝ³ (isto é, é linearmente independente). Na parte (b) devemos achar α de modo que o vetor com coordenadas (1,2,−1) em E tenha coordenadas (0,1,0) em F.
Passo 2
Para verificar quando F é base, vamos montar a matriz cujas colunas são as coordenadas de f₁,f₂,f₃ na base E. Observando f₁=e₁+e₂+e₃, f₂=αe₁+2αe₂−e₃ e f₃=0·e₁+4e₂+3e₃, a matriz de mudança de base P (de F para E) é:
Passo 3
Um conjunto de três vetores em ℝ³ é base se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero. Então calculamos det§.