Encontre a(s) solução(ões) do sistema
sendo que
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os vetores X que satisfazem A X = 2 X, ou seja, encontrar os autovetores de A associados ao autovalor 2. Para isso vamos usar que A X = 2 X equivale a (A - 2 I) X = 0 e resolver esse sistema homogêneo.
Passo 2
Vamos calcular A - 2 I. Temos a matriz identidade I₃ e subtraímos 2 em cada diagonal de A:
Passo 3
Agora montamos o sistema homogêneo (A - 2I)X = 0 e aplicamos eliminação de Gauss. A matriz aumentada é
Somamos a primeira linha à segunda e à terceira para eliminar os -1 na coluna 1:
R₂ ← R₂ + R₁ e R₃ ← R₃ + R₁ resultam em
Passo 4
Em seguida, eliminamos o 8 da terceira linha usando a segunda:
R₃ ← R₃ - 8·R₂ dá R₃ totalmente zero, e ajustamos R₁ para zerar o 2 em (1,2) com R₁ ← R₁ - 2·R₂. Assim chegamos ao escalonamento final
R₃ ← R₃ - 8·R₂ dá R₃ totalmente zero, e ajustamos R₁ para zerar o 2 em (1,2) com R₁ ← R₁ - 2·R₂. Assim chegamos ao escalonamento final
Passo 5
Dessa forma o sistema é x₁ - x₃ = 0 e x₂ = 0, com x₃ livre. Chamando x₃ = t, temos x₁ = t e x₂ = 0. Logo o espaço de soluções é formado pelos vetores
Resposta
As soluções são todos os múltiplos escalares de (1, 0, 1), ou seja, X = t(1, 0, 1), t ∈ ℝ.