(a) Encontre valores de a e b para os quais o sistema abaixo tenha infinitas soluções.
(b) Substitua os valores de a e b encontrados e determine o conjunto solução.
Passo 1
O sistema dado tem 4 equações e 3 incógnitas (x,y,z). Vamos usar eliminação de Gauss e critérios de posto (rank) para achar valores de (a,b) que geram posto(A) = posto(A|b) < 3, garantindo infinitas soluções.
Passo 2
Usando a primeira equação como pivô, eliminamos x das outras linhas. Após R_2←R_2−4R_1, R_3←R_3−6R_1 e R_4←R_4−4R_1, obtemos:
Para ter infinitas soluções, precisamos que o posto da matriz de coeficientes seja ≤2. Calculamos o determinante do menor 2×2 formado pelas colunas y,z nas linhas 2 e 3:
det7 & -5 a+18 & -10=7(-10)-(-5)(a+18)=5(a+4)
Para anular esse menor, exige-se a+4=0, isto é, a=−4.
Passo 4
Com a=−4, as linhas 2,3 e 4 ficam proporcionais, mas precisamos da consistência do sistema estendido. Como R_3=2·R_2 e R_4=2·R_2, o mesmo fator deve valer para o termo independente:
2(b-16)=−14 ⟹ b-16=−7 ⟹ b=9.
Passo 5
Substituindo a=−4 e b=9, o sistema reduz a duas equações independentes:
x-3y+2z=4,7y-5z=-7
Tomamos z como parâmetro t. Da segunda equação, y=-1+tfrac57 t. Da primeira, x=4+3y-2z=1+tfrac17 t
Logo a família de soluções é
(x,y,z)=(1+tfrac17 t,,-1+tfrac57 t,,t),;tin R
Resposta
a=-4, b=9; conjunto solução: {(1+\tfrac17 t,,-1+\tfrac57 t,,t)\mid t\in\mathbb R}