Considere o sistema linear
x-3 y+2 z & =4 4 x-5 y+3 z & =b 6 x+a y+2 z & =10 4 x+2 y-2 z & =2
(a) Encontre valores de a e b para os quais o sistema abaixo tenha infinitas soluções.
(b) Substitua os valores de a e b encontrados e determine o conjunto solução.

Passo 1

O sistema dado tem 4 equações e 3 incógnitas (x,y,z). Vamos usar eliminação de Gauss e critérios de posto (rank) para achar valores de (a,b) que geram posto(A) = posto(A|b) < 3, garantindo infinitas soluções.

Passo 2

Usando a primeira equação como pivô, eliminamos x das outras linhas. Após R_2←R_2−4R_1, R_3←R_3−6R_1 e R_4←R_4−4R_1, obtemos:
R1: (1,-3,2mid4), R2: (0,7,-5mid b-16), R3: (0,a+18,-10mid -14), R4: (0,14,-10mid -14)

Passo 3

Para ter infinitas soluções, precisamos que o posto da matriz de coeficientes seja ≤2. Calculamos o determinante do menor 2×2 formado pelas colunas y,z nas linhas 2 e 3:
det7 & -5 a+18 & -10=7(-10)-(-5)(a+18)=5(a+4)
Para anular esse menor, exige-se a+4=0, isto é, a=−4.

Passo 4

Com a=−4, as linhas 2,3 e 4 ficam proporcionais, mas precisamos da consistência do sistema estendido. Como R_3=2·R_2 e R_4=2·R_2, o mesmo fator deve valer para o termo independente:
2(b-16)=−14 ⟹ b-16=−7 ⟹ b=9.

Passo 5

Substituindo a=−4 e b=9, o sistema reduz a duas equações independentes:
x-3y+2z=4,7y-5z=-7
Tomamos z como parâmetro t. Da segunda equação, y= -1+tfrac57 t. Da primeira,
x=4+3y-2z=1+tfrac17 t
Logo a família de soluções é
(x,y,z)=(1+tfrac17 t,,-1+tfrac57 t,,t),;tin R

Resposta

a=-4, b=9; conjunto solução: {(1+\tfrac17 t,,-1+\tfrac57 t,,t)\mid t\in\mathbb R}

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