9-Sejam A e B matrizes tais que
A=[lll 1 & 3 & 2 2 & 2 & 1 1 & 1 & 0 ] B^-1=[ccc 20 & 10 & 0 40 & 10 & 0 0 & 0 & 30 ]
(a) Mostre que a matriz A é invertível e calcule sua inversa.
(b) Calcule a inversa da matriz A B.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes A e B^-1. Precisamos mostrar que A é invertível e calcular A^-1, e depois usar isso para achar a inversa de AB. O conteúdo envolve determinante, matriz adjunta e a propriedade (AB)^-1 = B^-1A^-1.

Passo 2

Para mostrar que A é invertível, calculamos seu determinante:
det(A) = 1cdot(2cdot0 -1cdot1) -3cdot(2cdot0 -1cdot1) +2cdot(2cdot1 -2cdot1) = -1 +3 +0 =2 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, A é invertível.

Passo 3

Para calcular A^-1, usamos a matriz adjunta. Primeiro obtemos a matriz de cofatores:
C = -1 & 1 & 0 2 & -2 & 2 -1 & 3 & -4
Em seguida, transpondo para obter a adjunta:
adj(A) = C^T = -1 & 2 & -1 1 & -2 & 3 0 & 2 & -4
Logo,
A^-1 = 12 -1 & 2 & -1 1 & -2 & 3 0 & 2 & -4

Passo 4

Para achar (AB)^-1, usamos a fórmula (AB)^-1 = B^-1A^-1. Como já temos
B^-1 = 20 & 10 & 040 &10 &00&0&30
e
adj(A) = -1&2&-11&-2&30&2&-4,
primeiro calculamos
B^-1adj(A) = -10 & 20 & 10 -30 & 60 & -10 0 & 60 & -120
Dividindo por 2, obtemos
(AB)^-1 = 12-10 & 20 & 10 -30 & 60 & -10 0 & 60 & -120 = -5 & 10 & 5 -15 & 30 & -5 0 & 30 & -60

Resposta

A^-1 = 12 -1 & 2 & -1 1 & -2 & 3 0 & 2 & -4 , (AB)^-1 = -5 & 10 & 5 -15 & 30 & -5 0 & 30 & -60

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