Calcule a altura do triângulo ABC em relação à base A B nos casos abaixo:
A=(2,-3), B=(3,4) e C=(-4,10).
Dica: Observe que a altura h é a norma do vetor w=A C-projA B A C.

Passo 1

O enunciado pede a altura h do triângulo ABC em relação à base AB, sendo
A=(2,-3), B=(3,4), C=(-4,10)
Vamos usar a dica: a altura é a norma do vetor
vec w = AC - projABAC
Para isso, precisaremos calcular AB, AC, a projeção de AC sobre AB e então a norma de vec w.

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC:
AB = B - A = (3-2,;4-(-3)) = (1,7),
AC = C - A = (-4-2,;10-(-3)) = (-6,13)

Passo 3

O coeficiente da projeção é
lambda = ACcdotABABcdotAB = (-6)cdot1 + 13cdot71^2 + 7^2 = -6 + 9150 = 8550 = 1710

Passo 4

A projeção de AC sobre AB é
projABAC = lambda,AB = 1710(1,7) = l(1710,11910r)
Logo
vec w = AC - projABAC = l(-6 - tfrac1710,;13 - tfrac11910r) = l(-tfrac7710,;tfrac1110r)

Passo 5

A altura h é a norma de vec w:
h = |vec w| = raizl(-tfrac7710r)^2 + l(tfrac1110r)^2 = 110raiz77^2 + 11^2 = 110raiz5929 + 121 = raiz605010
Como 6050 = 25 cdot 121 cdot 2, temos raiz6050 = 55raiz2, então
h = 55raiz210 = 11raiz22

Resposta

h = 11raiz22

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