Dada equaçào
(b) (10 pontos) identifique os valores das constantes relacionadas com a cônica (
ou
e с
c
) bem como determine pontos e retas importantes (focos, centro, assintotas ou diretriz, etc).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para identificar os parâmetros de uma cônica (centro,
,
,
, etc.) e seus elementos notáveis (vértices, focos, assíntotas, diretrizes). Aqui o conteúdo é reconhecimento e estudo de hipérbole em forma canônica.
Passo 2
Vamos reescrever em forma canônica. Primeiro isolamos os termos de segundo grau:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Multiplicando por
:
Isso é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical:
Passo 3
Comparando com
, vemos que
logo
O centro da hipérbole é
e os vértices ficam em
, ou seja,
Passo 4
Para os focos usamos a relação
portanto
. Como o eixo é vertical, os focos ficam em
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole
têm equações
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
A excentricidade é
As diretrizes de uma hipérbole vertical são dadas por
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Assíntotas:
Diretrizes: