Dada equaçào
4 x^2-5 y^2+20=0
(b) (10 pontos) identifique os valores das constantes relacionadas com a cônica ( p ou a, b e с x0 c y0) bem como determine pontos e retas importantes (focos, centro, assintotas ou diretriz, etc).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x^2-5y^2+20=0
e pede para identificar os parâmetros de uma cônica (centro, a, b, c, etc.) e seus elementos notáveis (vértices, focos, assíntotas, diretrizes). Aqui o conteúdo é reconhecimento e estudo de hipérbole em forma canônica.

Passo 2

Vamos reescrever em forma canônica. Primeiro isolamos os termos de segundo grau:
4x^2-5y^2=-20
Dividindo ambos os lados por -20 obtemos
-4x^220+5y^220=1Longrightarrow -x^25+y^24=1
Multiplicando por -1:
y^24-x^25=1
Isso é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical:
y^2a^2-x^2b^2=1

Passo 3

Comparando com y^2a^2-x^2b^2=1, vemos que
a^2=4, b^2=5,
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a=2, b=raiz5
O centro da hipérbole é (x0,y0)=(0,0) e os vértices ficam em (0,pm a), ou seja,
(0,2)e(0,-2)

Passo 4

Para os focos usamos a relação
c^2=a^2+b^2=4+5=9
portanto c=3. Como o eixo é vertical, os focos ficam em
(0,pm c)=(0,3)e(0,-3)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole y^2a^2-x^2b^2=1 têm equações
y=pmab,x
Substituindo a=2 e b=raiz5, obtemos
y=pm2raiz5,x

Passo 6

A excentricidade é
e=ca=32
As diretrizes de uma hipérbole vertical são dadas por
y=pmae=pm23/2=pm43

Resposta

Centro: (0,0)
a=2,;b=raiz5,;c=3,;e=tfrac32
Vértices: (0,2) e (0,-2)
Focos: (0,3) e (0,-3)
Assíntotas:
y=2raiz5,x e y=-2raiz5,x
Diretrizes:
y=43 e y=-43

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