Justifique de maneira simples porque um vetor, por exemplo, v=(v1, v2, v3) pode ser escrito também na notação matricial, como uma matriz linha ou como uma matriz coluna.

Passo 1

Um vetor em R^3 é, por definição, uma tupla ordenada de três componentes
vec v = l(v1,v2,v3r)
Essas três coordenadas formam o “endereço” de vec v no espaço tridimensional.

Passo 2

Uma matriz coluna de tamanho 3times1 também é um arranjo de três números em uma única coluna. Basta colocar cada componente de vec v em uma linha distinta:
vec v ;long<=ftrightarrow; v1 v2 v3 in M3times1(R)
Da mesma forma, uma matriz linha de tamanho 1times3 agrupa as mesmas coordenadas em uma única linha:
vec v ;long<=ftrightarrow; v1 & v2 & v3 in M1times3(R)

Passo 3

A correspondência
(v1,v2,v3) ;longmapsto; v1 v2 v3
é bijetora e preserva soma e multiplicação por escalar (ou seja, é um isomorfismo de espaços vetoriais). Por isso tratamos elementos de R^3 tanto como tuplas quanto como matrizes coluna (ou, via transposta, como matrizes linha), sem alterar as operações de vetor.

Resposta

Qualquer vetor em R^3 é simplesmente um arranjo de três coordenadas, e arranjos de três coordenadas são exatamente as matrizes 3times1 (coluna) ou 1times3 (linha). Deste modo a notação matricial não passa de um jeito organizado de dispor as mesmas entradas, mantendo soma e multiplicação escalar inalteradas.

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