Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,1) e que é perpendicular à direção do vetor (1,2). Esboçe esta reta.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por (1,1) e é perpendicular à direção dada pelo vetor (1,2). Vamos usar o produto escalar para achar um vetor diretor da reta desejada (perpendicular a (1,2)) e então montar a equação da reta em forma ponto-inclinação.

Passo 2

Para uma reta ser perpendicular ao vetor (1,2), seu vetor diretor w=(wx,wy) deve satisfazer
(1,2)cdot(wx,wy)=1cdot wx+2cdot wy=0
Uma escolha simples é tomar wx=2 e wy=-1, pois
1cdot 2 + 2cdot(-1)=2-2=0

Passo 3

O vetor (2,-1) indica que a reta tem inclinação (coeficiente angular)
m = wywx = -12 = -tfrac12
Logo, na forma ponto-inclinação, a equação é
y-1 = -tfrac12,(x-1)

Passo 4

Podemos reescrever essa equação em forma explícita:
y = -tfrac12,x + tfrac12 + 1 = -tfrac12,x + tfrac32,
ou em forma geral:
x + 2y - 3 = 0

Passo 5

Para esboçar a reta, note que ela corta o eixo y em y=tfrac32 e o eixo x em x=3. A inclinação negativa -tfrac12 faz com que, ao mover 2 unidades para a direita, a reta desça 1 unidade. Basta traçar esses pontos e ligar por uma linha reta.

Resposta

A equação da reta é
y-1 = -tfrac12,(x-1),
ou equivalentemente
y = -tfrac12,x + tfrac32 (ou ainda ;x+2y-3=0)

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