Calcule a altura e o volume de um tetraedro regular de área total 12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular cuja área total das quatro faces é \,12\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2. Queremos calcular a altura desde um vértice até a face oposta e o volume desse tetraedro. Para isso, vamos usar que em um tetraedro regular todas as arestas têm o mesmo comprimento, cada face é um triângulo equilátero de área \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2, a altura do tetraedro é h=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,a e o volume pode ser obtido por V=\tfrac{1}{3}A_{\text{base}}\,h.

Passo 2

Cada face tem área igual a um quarto da área total. Logo,
A_{\text{face}}=\frac{12\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2.
Como essa face é um triângulo equilátero de lado a, vale
\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = 3\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{4\cdot3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12 \quad\Longrightarrow\quad a=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}.

Passo 3

A altura h de um tetraedro regular (distância de um vértice à face oposta) satisfaz
h = \sqrt{\frac{2}{3}}\,a.
Substituindo a=2\sqrt{3},
h = \sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(2\sqrt{3}) =2\,\sqrt{\frac{2\cdot3}{3}} =2\sqrt{2}\,\mathrm{cm}.

Passo 4

Para o volume usamos
V=\frac{1}{3}\,A_{\text{base}}\,h,
onde A_{\text{base}}=3\sqrt{3} é a área de uma face. Assim,
V=\frac{1}{3}\,(3\sqrt{3})\,(2\sqrt{2}) =2\sqrt{6}\,\mathrm{cm}^3.

Resposta

A altura vale 2\sqrt{2}\,\mathrm{cm} e o volume vale 2\sqrt{6}\,\mathrm{cm}^3.

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