De uma pirâmide regular de base quadrada, sabe-se que a área da base é 32 \mathrm{dm}^{2} e que o apótema da pirâmide mede 6 dm . Calcule:
(a) a aresta da base (l);
(b) o apótema da base(m);
(c) a altura da pirâmide(h);
(d) a aresta lateral (a);
(e) a área lateral ( \mathrm{A}_{1} );
(f) a área total \left(\mathrm{A}_{\mathrm{t}}\right)).

Passo 1

Temos uma pirâmide regular de base quadrada com área da base A_{b}=32\,\mathrm{dm}^{2} e apótema lateral (apótema da pirâmide) s=6\,\mathrm{dm}. Para resolver vamos usar:
– A área do quadrado A_{b}=l^{2}.
– A definição de apótema de um polígono regular de n lados, aqui n=4, dá m=\tfrac{l}{2\tan(\pi/4)}=\tfrac{l}{2}.
– No triângulo lateral retângulo, formado pela altura h, apótema da base m e apótema da pirâmide s, vale h^{2}+m^{2}=s^{2}.
– A aresta lateral a liga o vértice da pirâmide a um vértice da base, e num triângulo reto de catetos h e raio da circunferência circunscrita à base R=\tfrac{l}{\sqrt2}, tem a^{2}=h^{2}+R^{2}.
– A área lateral \displaystyle A_{l}=\frac{P_{\text{base}}\cdot s}{2} e a área total \displaystyle A_{t}=A_{b}+A_{l}.

Passo 2

Do quadrado A_{b}=l^{2}=32, segue
l=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\,\mathrm{dm}.

Passo 3

O apótema da base é
m=\frac{l}{2}=2\sqrt{2}\,\mathrm{dm}.

Passo 4

No triângulo lateral retângulo temos
h^{2}+m^{2}=s^{2} \quad\Longrightarrow\quad h^{2}=(6)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}=36-8=28,
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h=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\,\mathrm{dm}.

Passo 5

O raio da base é R=\tfrac{l}{\sqrt2}=\tfrac{4\sqrt2}{\sqrt2}=4\,\mathrm{dm}. Assim a aresta lateral vale
a=\sqrt{h^{2}+R^{2}} =\sqrt{(2\sqrt{7})^{2}+4^{2}} =\sqrt{28+16} =\sqrt{44}=2\sqrt{11}\,\mathrm{dm}.

Passo 6

O perímetro da base é P_{\text{base}}=4l=16\sqrt{2}\,\mathrm{dm}. Então
A_{l}=\frac{P_{\text{base}}\cdot s}{2} =\frac{16\sqrt{2}\times6}{2} =48\sqrt{2}\,\mathrm{dm}^{2}.

Passo 7

A área total é
A_{t}=A_{b}+A_{l} =32+48\sqrt{2}\,\mathrm{dm}^{2}.

Resposta

(a) l=4\sqrt{2}\,\mathrm{dm}
(b) m=2\sqrt{2}\,\mathrm{dm}
(c) h=2\sqrt{7}\,\mathrm{dm}
(d) a=2\sqrt{11}\,\mathrm{dm}
(e) A_{l}=48\sqrt{2}\,\mathrm{dm}^{2}
(f) A_{t}=32+48\sqrt{2}\,\mathrm{dm}^{2}

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