Sabendo que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm , calcule a medida de sua altura e seu volume.
Passo 1
O enunciado diz que temos um tetraedro regular de aresta
. O conteúdo aqui é geometria de poliedros regulares, mais precisamente cálculo da altura
a partir de um vértice até a face oposta e do volume
. Para isso, vamos usar (1) Pythagoras no triângulo que une o vértice ao centróide da base e (2) a fórmula do volume de um prisma (
da base vezes a altura).
Passo 2
Na base temos um triângulo equilátero de lado
. O centróide desse triângulo fica a uma distância
de cada vértice da base. A altura
do tetraedro é a hipotenusa em um triângulo retângulo de catetos
e a própria aresta
, de forma que
Substituindo
,
Passo 3
Para o volume usamos
A área da base (triângulo equilátero) é
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Resposta
A altura do tetraedro é
e o volume é
.