Sabendo que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm , calcule a medida de sua altura e seu volume.

Passo 1

O enunciado diz que temos um tetraedro regular de aresta a=3\\ \text{cm}. O conteúdo aqui é geometria de poliedros regulares, mais precisamente cálculo da altura h a partir de um vértice até a face oposta e do volume V. Para isso, vamos usar (1) Pythagoras no triângulo que une o vértice ao centróide da base e (2) a fórmula do volume de um prisma ( \tfrac13 da base vezes a altura).

Passo 2

Na base temos um triângulo equilátero de lado a. O centróide desse triângulo fica a uma distância
r = \frac{a}{\sqrt{3}}
de cada vértice da base. A altura h do tetraedro é a hipotenusa em um triângulo retângulo de catetos r e a própria aresta a, de forma que
h = \sqrt{a^2 - r^2} = \sqrt{a^2 - \Bigl(\frac{a}{\sqrt{3}}\Bigr)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\,\sqrt{\frac{2}{3}}.
Substituindo a=3,
h = 3\,\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{6}\\ \text{cm}.

Passo 3

Para o volume usamos
V = \frac{A_{\text{base}}\;h}{3}.
A área da base (triângulo equilátero) é
A_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
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V = \frac{1}{3}\,\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 \;\bigl(a\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) = \frac{\sqrt{3}\,a^3}{12}\,\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a^3}{12}\,\sqrt{2} = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}.
Com a=3:
V = \frac{27}{6\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}\\ \text{cm}^3.

Resposta

A altura do tetraedro é \sqrt{6}\\ \text{cm} e o volume é \tfrac{9\sqrt{2}}{4}\\ \text{cm}^3.

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