Calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o campo
e o caminho retangular ao redor da região,
. Considere que o sentido positivo de
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve o teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral de superfície sobre a área delimitada por esse caminho.
Aqui, temos um campo vetorial
em amperes por metro (
), e um caminho retangular definido por
,
, com
. Queremos calcular ambos os lados do teorema de Stokes para esse caso específico. Para isso, vamos precisar conhecer:
- Como calcular a integral de linha de um campo vetorial.
- Como determinar o rotacional de um campo vetorial.
- Como calcular a integral de superfície do rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional, representado por
, nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas, o rotacional é dado por:
No nosso caso, como
não tem componente em
(
), algumas derivadas serão zero.
Passo 3
Calculando cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de
sobre a área delimitada pelo caminho retangular. A integral de superfície é dada por:
Como o caminho está no plano
e o sentido positivo de
é
(que assumimos ser
), temos:
Portanto, a integral se torna:
Vamos integrar sobre a região
e
.
Passo 5
Calculando a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha de
ao longo do caminho retangular. O caminho consiste em quatro segmentos:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Vamos calcular a integral em cada segmento e somar os resultados.
Passo 7
Segmento 1: De
a
Aqui,
e
são constantes. A variação é em
de 2 a 5.
O vetor deslocamento
.
O campo
.
A integral é:
Segmento 2: De
a
Aqui,
e
são constantes. A variação é em
de -1 a 1.
O vetor deslocamento
.
O campo
.
A integral é:
Segmento 3: De
a
Aqui,
e
são constantes. A variação é em
de 5 a 2 (sentido negativo).
O vetor deslocamento
, mas como x diminui,
.
O campo
.
A integral é:
Segmento 4: De
a
Aqui,
e
são constantes. A variação é em
de 1 a -1 (sentido negativo).
O vetor deslocamento
, mas como y diminui,
.
O campo
.
A integral é:
Passo 8
Agora, somamos as integrais de todos os segmentos:
Resposta
Ambos os lados do teorema de Stokes resultam em
. Portanto,