Calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o campo H= 6 x y ax-3 y^2 ay A / m e o caminho retangular ao redor da região, 2 <= x <= 5,-1 <= y <= 1, z=0. Considere que o sentido positivo de d S seja a2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve o teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral de superfície sobre a área delimitada por esse caminho.
Aqui, temos um campo vetorial H = 6xy ax - 3y^2 ay em amperes por metro ( A/m), e um caminho retangular definido por 2 <= x <= 5, -1 <= y <= 1, com z=0. Queremos calcular ambos os lados do teorema de Stokes para esse caso específico. Para isso, vamos precisar conhecer:
  1. Como calcular a integral de linha de um campo vetorial.
  2. Como determinar o rotacional de um campo vetorial.
  3. Como calcular a integral de superfície do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial H. O rotacional, representado por nabla times H, nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas, o rotacional é dado por:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) ax + ( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) ay + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) az
No nosso caso, como H não tem componente em z ( Hz = 0), algumas derivadas serão zero.

Passo 3

Calculando cada componente do rotacional:
  • Componente ax:
partial Hzpartial y - partial Hypartial z = 0 - 0 = 0
  • Componente ay:
partial Hxpartial z - partial Hzpartial x = 0 - 0 = 0
  • Componente az:
partial Hypartial x - partial Hxpartial y = partial (-3y^2)partial x - partial (6xy)partial y = 0 - 6x = -6x
Portanto, o rotacional de H é:
nabla times H = -6x az

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de H sobre a área delimitada pelo caminho retangular. A integral de superfície é dada por:
integral duplaS (nabla times H) cdot dS
Como o caminho está no plano z=0 e o sentido positivo de dS é a2 (que assumimos ser az), temos:
dS = az , dx , dy
Portanto, a integral se torna:
integral duplaS (-6x az) cdot az , dx , dy = integral duplaS (-6x) , dx , dy
Vamos integrar sobre a região 2 <= x <= 5 e -1 <= y <= 1.

Passo 5

Calculando a integral:
integral duplaS (-6x) , dx , dy = -6 integralx=2^5 integraly=-1^1 x , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integraly=-1^1 x , dy = x [y]-1^1 = x (1 - (-1)) = 2x
Agora, substituímos de volta na integral em x:
-6 integral2^5 2x , dx = -12 integral2^5 x , dx = -12 [ x^22 ]2^5 = -12 ( 252 - 42 ) = -12 ( 212 ) = -126

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha de H ao longo do caminho retangular. O caminho consiste em quatro segmentos:
  1. De (2,-1,0) a (5,-1,0)
  2. De (5,-1,0) a (5,1,0)
  3. De (5,1,0) a (2,1,0)
  4. De (2,1,0) a (2,-1,0)
Vamos calcular a integral em cada segmento e somar os resultados.

Passo 7

Segmento 1: De (2,-1,0) a (5,-1,0)
Aqui, y = -1 e z = 0 são constantes. A variação é em x de 2 a 5.
O vetor deslocamento dr = dx ax.
O campo H = 6xy ax - 3y^2 ay = 6x(-1) ax - 3(-1)^2 ay = -6x ax -3 ay.
A integral é:
integral2^5 H cdot dr = integral2^5 (-6x ax -3 ay) cdot ax , dx = integral2^5 (-6x) , dx = -6 [ x^22 ]2^5 = -6 ( 252 - 42 ) = -6 times 212 = -63
Segmento 2: De (5,-1,0) a (5,1,0)
Aqui, x = 5 e z = 0 são constantes. A variação é em y de -1 a 1.
O vetor deslocamento dr = dy ay.
O campo H = 6xy ax - 3y^2 ay = 6 times 5 times y ax - 3y^2 ay = 30y ax -3y^2 ay.
A integral é:
integral-1^1 H cdot dr = integral-1^1 (30y ax -3y^2 ay) cdot ay , dy = integral-1^1 (-3y^2) , dy = -3 [ y^33 ]-1^1 = -3 ( 13 - (-13) ) = -3 times 23 = -2
Segmento 3: De (5,1,0) a (2,1,0)
Aqui, y = 1 e z = 0 são constantes. A variação é em x de 5 a 2 (sentido negativo).
O vetor deslocamento dr = dx ax, mas como x diminui, dx = -|dx|.
O campo H = 6xy ax - 3y^2 ay = 6x(1) ax - 3(1)^2 ay = 6x ax -3 ay.
A integral é:
integral5^2 H cdot dr = integral5^2 (6x ax -3 ay) cdot ax , dx = integral5^2 6x , dx = 6 [ x^22 ]5^2 = 6 ( 42 - 252 ) = 6 times ( -212 ) = -63
Segmento 4: De (2,1,0) a (2,-1,0)
Aqui, x = 2 e z = 0 são constantes. A variação é em y de 1 a -1 (sentido negativo).
O vetor deslocamento dr = dy ay, mas como y diminui, dy = -|dy|.
O campo H = 6xy ax - 3y^2 ay = 6 times 2 times y ax - 3y^2 ay = 12y ax -3y^2 ay.
A integral é:
integral1^-1 H cdot dr = integral1^-1 (12y ax -3y^2 ay) cdot ay , dy = integral1^-1 (-3y^2) , dy = -3 [ y^33 ]1^-1 = -3 ( (-13) - 13 ) = -3 times (-23) = 2

Passo 8

Agora, somamos as integrais de todos os segmentos:
-63 + (-2) + (-63) + 2 = -126

Resposta

Ambos os lados do teorema de Stokes resultam em -126. Portanto,
ointC H cdot dr = integral duplaS (nabla times H) cdot dS = -126

Exercícios relacionados