(0,5) a) determine o múltiplo da constante de tempo tau necessário para que o capacitor se descarregue em 50 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar quantas vezes a constante de tempo tau é necessária para que um capacitor se descarregue em 50%. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente sobre a descarga de capacitores. Para isso, precisamos entender a fórmula que descreve como a tensão no capacitor decai ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que descreve a descarga de um capacitor em um circuito RC (resistor-capacitor). A tensão V(t) no capacitor em função do tempo t é dada por:
V(t) = V0 , e^-ttau
Onde:
  • V0 é a tensão inicial no capacitor.
  • tau é a constante de tempo do circuito, calculada por tau = R times C, onde R é a resistência e C a capacitância.

Passo 3

A questão quer saber em quanto tempo t a tensão no capacitor diminui para 50% do valor inicial V0. Isso significa que queremos encontrar t tal que:
V(t) = 0,5 , V0
Substituindo na fórmula da descarga:
0,5 , V0 = V0 , e^-ttau

Passo 4

Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por V0:
0,5 = e^-ttau
Para resolver essa equação para t, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(0,5) = -ttau

Passo 5

Resolvendo para t:
t = -tau , ln(0,5)
Sabemos que ln(0,5) = -ln(2), então:
t = tau , ln(2)

Resposta

O múltiplo da constante de tempo necessário para que o capacitor se descarregue em 50% é ln(2), ou aproximadamente 0,693 , tau.

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