(3.6) Calcule an neguintes integrala:
integral0^1 y e^1-y^2 d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a seguinte integral definida:
integral0^1 y , e^1 - y^2 , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente uma integral que envolve uma função exponencial e um polinômio. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, que simplifica integrais complexas transformando as variáveis.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observamos que a expressão no expoente é u = 1 - y^2 . Vamos definir:
Isso facilita a integral porque a derivada de em relação a está presente no integrando original.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudy = -2y Rightarrow dy = du-2y em relação a :
Observamos que temos um multiplicando a exponencial na integral original, o que vai ajudar a simplificar a expressão após a substituição.

Passo 4

Substituindo integral y , e^1 - y^2 , dy = integral y , e^u cdot du-2y = -12 integral e^u , du e na integral original, temos:
Os termos se cancelam, simplificando a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, integramos -12 integral e^u , du = -12 e^u + C com respeito a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos -12 e^1 - y^2 + C de volta para a variável original :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 7

Calculamos o valor da primitiva nos limites superiores e inferiores e subtraímos:
[ -12 e^1 - y^2 ]0^1 = ( -12 e^0 ) - ( -12 e^1 ) = -12 + 12 e

Resposta

O valor da integral é:
e - 12

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