2,5 Esboce a regido delimitada pelas curvas y - raiz(25 - x^2), y - 0, z - 20, z - 4. Rsboce o wilido de remolucīo obtido de rotacio desen regiäo em torDo do cixo z e calcule o seu voltame.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas , , e . Depois, queremos girar essa região em torno do eixo e calcular o volume do sólido resultante. Para resolver isso, vamos precisar entender gráficos de funções, rotação de regiões e cálculo de volumes usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A equação representa a parte superior de um círculo com raio 5 (porque ) centrado na origem. A curva é simplesmente o eixo . As superfícies e são planos horizontais paralelos ao eixo .

Passo 3

Vamos esboçar essa região. No plano , a curva vai de a , formando um semicírculo acima do eixo . A linha limita essa região na parte de baixo. Nas direções , a região está entre e , formando um “cilindro” limitado verticalmente por esses dois planos.

Passo 4

Agora, queremos girar essa região em torno do eixo . Quando giramos essa região, cada ponto no semicírculo traça um círculo ao redor do eixo , formando um sólido de revolução. Esse sólido vai se assemelhar a um tubo ou cilindro com uma cavidade interna, dependendo das dimensões.

Passo 5

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos ou anéis. Como estamos girando em torno do eixo , é conveniente expressar e em termos de . Porém, como as limitações em são constantes, podemos considerar apenas a área do semicírculo e multiplicar pela altura.
A área do semicírculo é:
A altura entre e é:

Passo 6

Então, o volume do sólido de revolução é a área da base multiplicada pela altura:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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