Esboce a regido delimitada pelas curvas
. Rsboce o wilido de remolucīo obtido de rotacio desen regiäo em torDo do cixo
e calcule o seu voltame.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Depois, queremos girar essa região em torno do eixo
e calcular o volume do sólido resultante. Para resolver isso, vamos precisar entender gráficos de funções, rotação de regiões e cálculo de volumes usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A equação
representa a parte superior de um círculo com raio 5 (porque
) centrado na origem. A curva
é simplesmente o eixo
. As superfícies
e
são planos horizontais paralelos ao eixo
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região. No plano
, a curva
vai de
a
, formando um semicírculo acima do eixo
. A linha
limita essa região na parte de baixo. Nas direções
, a região está entre
e
, formando um “cilindro” limitado verticalmente por esses dois planos.
Passo 4
Agora, queremos girar essa região em torno do eixo
. Quando giramos essa região, cada ponto no semicírculo traça um círculo ao redor do eixo
, formando um sólido de revolução. Esse sólido vai se assemelhar a um tubo ou cilindro com uma cavidade interna, dependendo das dimensões.
Passo 5
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos ou anéis. Como estamos girando em torno do eixo
, é conveniente expressar
e
em termos de
. Porém, como as limitações em
são constantes, podemos considerar apenas a área do semicírculo e multiplicar pela altura.
A área do semicírculo é:
A altura entre
e
é:
Passo 6
Então, o volume
do sólido de revolução é a área da base multiplicada pela altura:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.