Selang<=u, vrang<==10 e |u|=5, calcule o ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que o produto interno entre os vetores u e v é 10, ou seja, ⟨u, v⟩ = 10, e que o módulo de u é 5, ou seja, |u| = 5. O que precisamos encontrar é o ângulo entre esses dois vetores.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com vetores no espaço, utilizando o produto interno (também conhecido como produto escalar) para encontrar o ângulo entre eles.
O que vamos precisar:
  • Fórmula do produto interno em termos do ângulo
  • Propriedade dos módulos dos vetores

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona o produto interno dos vetores com o ângulo entre eles. A fórmula é:
lang<= u, v rang<= = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde:
  • u, v⟩ é o produto interno entre u e v
  • |u| e |v| são os módulos (tamanhos) dos vetores u e v
  • θ é o ângulo entre os vetores

Passo 3

Queremos isolar o ângulo θ nessa equação. Para isso, vamos rearranjar a fórmula para resolver para o cosseno do ângulo:
cos(theta) = lang<= u, v rang<=|u| cdot |v|

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que já temos na fórmula. Sabemos que ⟨u, v⟩ = 10 e |u| = 5. Porém, para calcular o ângulo θ, também precisamos saber o módulo de v, que não foi fornecido no enunciado. Então, vamos expressar o ângulo em termos de |v|.
Substituindo os valores:
cos(theta) = 105 cdot |v| = 2|v|

Passo 5

Para encontrar o ângulo θ, precisamos aplicar a função arco cosseno (arccos) ao resultado obtido:
theta = arccos( 2|v| )

Resposta

O ângulo entre u e v é dado por:
theta = arccos( 2|v| )

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