e
, calcule o ângulo entre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que o produto interno entre os vetores u e v é 10, ou seja, ⟨u, v⟩ = 10, e que o módulo de u é 5, ou seja, |u| = 5. O que precisamos encontrar é o ângulo entre esses dois vetores.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com vetores no espaço, utilizando o produto interno (também conhecido como produto escalar) para encontrar o ângulo entre eles.
O que vamos precisar:
- Fórmula do produto interno em termos do ângulo
- Propriedade dos módulos dos vetores
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona o produto interno dos vetores com o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
- ⟨u, v⟩ é o produto interno entre u e v
- |u| e |v| são os módulos (tamanhos) dos vetores u e v
- θ é o ângulo entre os vetores
Passo 3
Queremos isolar o ângulo θ nessa equação. Para isso, vamos rearranjar a fórmula para resolver para o cosseno do ângulo:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que já temos na fórmula. Sabemos que ⟨u, v⟩ = 10 e |u| = 5. Porém, para calcular o ângulo θ, também precisamos saber o módulo de v, que não foi fornecido no enunciado. Então, vamos expressar o ângulo em termos de |v|.
Substituindo os valores:
Passo 5
Para encontrar o ângulo θ, precisamos aplicar a função arco cosseno (arccos) ao resultado obtido:
Resposta
O ângulo entre u e v é dado por: