2^a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
2 - Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
b) y^prime=e^2 x+y-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = e^2x + y - 1
e pede para mostrar que ela não é exata, depois encontrar um fator integrante e resolver.
Conteúdo: equações de forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, teste de exatidão, fator integrante em x, função potencial.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial padrão:
dydx - y - e^2x +1 =0 Longrightarrow (-y - e^2x +1),dx + 1cdot dy = 0
Aqui M(x,y) = -y - e^2x +1 e N(x,y)=1.

Passo 3

Verificação de exatidão:
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = 0,
como -1neq0, a forma não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante mu(x). Para isso usamos
partial Mpartial y - partial Npartial xN = -1 - 01 = -1,
que depende só de x. Logo
mu(x) = e^integral -1,dx = e^-x

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x:
e^-x(-y - e^2x +1),dx + e^-xdy =0
Definindo
M^*(x,y) = -y,e^-x - e^x + e^-x, N^*(x,y) = e^-x,
verificamos
partial M^*/partial y = -e^-x = partial N^*/partial x,
logo é exata.

Passo 6

Procuramos F(x,y) com
partial Fpartial x = M^* = -y,e^-x - e^x + e^-x
Integramos em x:
F(x,y) = integrall(-y,e^-xr),dx + integral(-e^x),dx + integral e^-x,dx + h(y) = y,e^-x - e^x - e^-x + h(y)
Agora impomos partial F/partial y = N^*:
partial Fpartial y = e^-x + h'(y) stackrel!= e^-x Longrightarrow h'(y)=0;Longrightarrow;h=const

Passo 7

A solução implícita é
F(x,y) = y,e^-x - e^x - e^-x = C
Multiplicando por e^x e isolando y,
y - e^2x - 1 = C,e^x Longrightarrow y = e^2x + 1 + K,e^x,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

boxedy(x) = e^2x + 1 + C,e^x,
com C constante de integração.

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