Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
2 - Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
b)
2 - Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela não é exata, depois encontrar um fator integrante e resolver.
Conteúdo: equações de forma , teste de exatidão, fator integrante em
, função potencial.
Conteúdo: equações de forma
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial padrão:
Aqui
e
.
Passo 3
Verificação de exatidão:
como
, a forma não é exata.
Passo 4
Buscamos um fator integrante
. Para isso usamos
que depende só de
. Logo
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
:
Definindo
verificamos
,
logo é exata.
logo é exata.
Passo 6
Procuramos
com
Integramos em
:
Agora impomos
:
Passo 7
A solução implícita é
Multiplicando por
e isolando
,
onde
é constante arbitrária.
Resposta
com
constante de integração.