Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u=(2,3,4) e v=(1,0,-1) usando o produto vetorial.

Passo 1

Vamos calcular a área de um paralelogramo formado pelos vetores u = (2, 3, 4) e v = (1, 0, -1). Para isso, vamos usar o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar uma área associada a dois vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o produto vetorial de u e v. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
u times v = ( 3 cdot (-1) - 4 cdot 0, 4 cdot 1 - 2 cdot (-1), 2 cdot 0 - 3 cdot 1 ) = (-3, 6, -3)

Passo 3

Agora, para encontrar a área do paralelogramo, vamos calcular a magnitude (ou norma) do vetor resultante do produto vetorial. A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor (-3, 6, -3):
|u times v| = raiz(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2 = raiz9 + 36 + 9 = raiz54 = 3raiz6

Resposta

A área do paralelogramo é 3raiz6 unidades de área.

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