Calcule o ângulo entre o plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x^3-x y+y^2 no ponto P =(2,1,7) e o plano pi: 3 x-y+z=ln 2.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x^3-x y+y^2 no ponto P=(2,1,7) e o plano pi:3x-y+z=ln2. Para isso precisamos (i) encontrar as derivadas parciais de f em P para obter o vetor normal ao plano tangente, e (ii) usar a fórmula do ângulo entre planos a partir de seus vetores normais.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=3x^2-y, fy(x,y)=-x+2y
Em P=(2,1) temos
fx(2,1)=3cdot2^2-1=12-1=11, fy(2,1)=-2+2cdot1=0

Passo 3

A equação do plano tangente pode ser escrita como
fx(2,1),(x-2)+fy(2,1),(y-1)-(z-7)=0,
logo um vetor normal a esse plano é
n1=(-fx(2,1),,-fy(2,1),,1)=(-11,0,1)
O plano pi tem vetor normal
n2=(3,-1,1)

Passo 4

O ângulo phi entre dois planos é o mesmo ângulo entre seus normais, dado por
cosphi =l|n1cdotn2r||n1|;|n2| =l|(-11)cdot3+0cdot(-1)+1cdot1r|raiz(-11)^2+0^2+1^2;raiz3^2+(-1)^2+1^2 =32raiz122,raiz11 =32raiz1342
Portanto
phi=arccos!l(32raiz1342r)

Resposta

phi=arccos!l(32raiz1342r)approx29^circ.

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