Seja
um grupo e
o elemento neutro de
relativo à
. Prove, para
quaisquer, que se tem:
a) Se
é tal que
, então
. (
é o simétrico de
relativo à
)
a) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo com elemento neutro
e que para cada
existe o inverso
tal que
Queremos resolver em
a “equação”
e mostrar que sua solução é
O conteúdo envolvido é o uso da existência de inverso e da associatividade para resolver equações em grupos.
Passo 2
Partimos da hipótese
Para “isolar”
, vamos usar o inverso de
, ou seja, multiplicar (pela esquerda) ambos os lados da igualdade por
.
Passo 3
Aplicando
a ambos os lados, obtemos
Passo 4
Pela associatividade de
, podemos reescrever o lado esquerdo como
Passo 5
Mas
por definição de inverso, logo
Assim concluímos