Seja (G, oplus) um grupo e e o elemento neutro de G relativo à oplus. Prove, para a, b in G quaisquer, que se tem:
a) Se x in G é tal que a oplus x=b, então x=a^prime oplus b. ( a^prime é o simétrico de a relativo à oplus )

Passo 1

O enunciado diz que (G,oplus) é um grupo com elemento neutro e e que para cada ain G existe o inverso a' tal que
aoplus a' = a' oplus a = e
Queremos resolver em G a “equação”
a oplus x = b
e mostrar que sua solução é
x = a' oplus b
O conteúdo envolvido é o uso da existência de inverso e da associatividade para resolver equações em grupos.

Passo 2

Partimos da hipótese
a oplus x = b
Para “isolar” x, vamos usar o inverso de a, ou seja, multiplicar (pela esquerda) ambos os lados da igualdade por a'.

Passo 3

Aplicando a'oplus a ambos os lados, obtemos
a' oplus (a oplus x) ;=; a' oplus b

Passo 4

Pela associatividade de oplus, podemos reescrever o lado esquerdo como
(a' oplus a) oplus x

Passo 5

Mas a' oplus a = e por definição de inverso, logo
(a' oplus a) oplus x = e oplus x = x
Assim concluímos
x = a' oplus b

Resposta

x = a' oplus b

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