Mostre que o paiabolc x^2+2 y^2+z-4=0 não admite plano tangente paralelo ao plano yz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a superfície implícita ,x^2+2y^2+z-4=0 não possui plano tangente paralelo ao plano yz. O conteúdo aqui é geometria de superfícies implícitas e cálculo de plano tangente via gradiente.

Passo 2

Para uma superfície dada por ,F(x,y,z)=0, o plano tangente em um ponto P0=(x0,y0,z0) tem vetor normal igual a nabla F(P0) e é dado pela equação
nabla F(P0)cdotl(x-x0,y-y0,z-z0r)=0

Passo 3

O plano yz é descrito por x=0 e tem vetor normal (1,0,0). Um plano é paralelo a yz se seu vetor normal for colinear a (1,0,0). Assim, precisamos de
nabla F(P)=(lambda,0,0)
para algum lambda, o que equivale a exigir
partial Fpartial y=0 e partial Fpartial z=0

Passo 4

No nosso caso
F(x,y,z)=x^2+2y^2+z-4
Logo
partial Fpartial y=4y
partial Fpartial z=1
Para anular partial F/partial z precisaríamos de 1=0, o que é impossível em qualquer ponto.

Passo 5

Não existe ponto em que nabla F seja da forma (lambda,0,0). Logo não há como obter plano tangente paralelo ao plano yz.

Resposta

A superfície não admite plano tangente paralelo ao plano yz.

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