Calcule partial^3partial x^3 partial y f(x, y) onde f(x, y)=x^4+y^4-3 x^2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede o derivado parcial misto de quarta ordem
partial^3partial x^3,partial yf(x,y),
isto é, uma vez em y e três vezes em x.
O conteúdo necessário é: regra de derivação de potências, linearidade das derivadas parciais e o Teorema de Clairaut (ordem das diferenciações não altera o resultado para funções polinomiais).

Passo 2

Calcular primeiro partial fpartial y. Como
f(x,y)=x^4+y^4-3x^2y^2,
temos
partial fpartial y =partialpartial yl(x^4r) +partialpartial yl(y^4r) -partialpartial yl(3x^2y^2r) =0+4y^3-6x^2y

Passo 3

Agora aplicamos três derivadas em x sobre 4y^3-6x^2y.
  1. Primeira derivada em x: partialpartial x(4y^3-6x^2y) =0-12xy
  2. Segunda derivada em x: partial^2partial x^2(4y^3-6x^2y) =partialpartial x(-12xy) =-12y
  3. Terceira derivada em x: partial^3partial x^3(4y^3-6x^2y) =partialpartial x(-12y) =0

Resposta

0

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