Calcule o ângulo que a reta lx=2+lambda y=-3+lambda z=1-3 lambda forma com o plano x-y-2 z+2001=0.

Passo 1

Resumindo, temos uma reta dada em forma paramétrica e um plano em forma cartesiana. Queremos o ângulo theta que a reta forma com o plano. Seja v o vetor diretor da reta e n o vetor normal ao plano. A teoria nos diz que
sintheta = l|ncdotvr||n|;|v|

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta a partir das equações
x=2+lambda, y=-3+lambda, z=1-3lambda
Logo,
v = (1,,1,,-3)

Passo 3

O plano é dado por
x - y - 2z + 2001 = 0,
logo seu vetor normal é
n = (1,,-1,,-2)

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
ncdotv = 1cdot1 + (-1)cdot1 + (-2)cdot(-3) = 6,
|v| = raiz1^2+1^2+(-3)^2 = raiz11, |n| = raiz1^2+(-1)^2+(-2)^2 = raiz6

Passo 5

Substituindo na fórmula do passo 1:
sintheta = |6|raiz11,raiz6 = 6raiz66 = raiz6611

Passo 6

Portanto, o ângulo procurado é
theta = arcsin!l(tfracraiz6611r) approx 47,6^circ

Resposta

theta = arcsin!l(tfracraiz6611r)approx 47,6^circ

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