Um raio de luz sai de A=(7,4,3), atinge a superfície espelhada do plano 3 x+3 y+ 2 z-17=0 num certo ponto P=(xP, yP, zP), reflete e atinge o ponto B=(17,14,-5). Determine as coordenadas do ponto P.

Passo 1

O enunciado dá o ponto de origem da luz A=(7,4,3), o plano espelho
3x+3y+2z-17=0
e o ponto de chegada B=(17,14,-5). Queremos o ponto de reflexão P=(xP,yP,zP).
Conteúdo: reflexão especular em geometria analítica. Usaremos o método do ponto imagem: refletir B no plano (obtendo B') e intersectar a reta AB' com o plano para achar P.

Passo 2

Refletimos B no plano. Seja n=(3,3,2) o vetor normal e d=-17.
Calculamos
ncdotB=3cdot17+3cdot14+2cdot(-5)=83, ncdotB+d=83-17=66, |n|^2=3^2+3^2+2^2=22
A fórmula da imagem é
B'=B-2ncdotB+d|n|^2n =(17,14,-5)-26622(3,3,2)
Como 2cdot6622=6, vem
B'=(17,14,-5)-6(3,3,2)=(-1,-4,-17)

Passo 3

Escrevemos a reta de A a B' parametricamente:
r(t)=A+t(B'-A) =(7,4,3)+tl((-1,-4,-17)-(7,4,3)r)
Logo
B'-A=(-8,-8,-20), r(t)=(7-8t,;4-8t,;3-20t)

Passo 4

Para achar a interseção com o plano, substituímos r(t) em
3x+3y+2z-17=0
Isso dá
3(7-8t)+3(4-8t)+2(3-20t)-17=0 ;Longrightarrow; 21-24t+12-24t+6-40t-17=0 ;Longrightarrow; 22-88t=0 ;Longrightarrow; t=tfrac14

Passo 5

Substituindo t=tfrac14 em r(t):
xP=7-8cdottfrac14=5, yP=4-8cdottfrac14=2, zP=3-20cdottfrac14=-2
Portanto
P=(5,2,-2)

Resposta

P=(5,2,-2)

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