Usando uma translação conveniente, elimine os termos do primeiro grau da equação
4 x^2-8 x+9 y^2-36 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
4x^2-8x+9y^2-36y+4=0
e pede para escolhermos uma translação que elimine os termos lineares em x e em y. O conteúdo aqui é completar quadrados e mudar de variáveis por translação dos eixos.

Passo 2

Começamos pelos termos em x. Agrupando e completando o quadrado, temos
4x^2-8x = 4l(x^2-2xr) =4l((x-1)^2-1r) =4(x-1)^2-4

Passo 3

Agora os termos em y. De modo análogo,
9y^2-36y = 9l(y^2-4yr) =9l((y-2)^2-4r) =9(y-2)^2-36

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, obtemos
l[4(x-1)^2-4r]+l[9(y-2)^2-36r]+4=0 ;Longrightarrow; 4(x-1)^2+9(y-2)^2-36=0
Se agora definirmos
X = x-1, Y = y-2,
a equação fica
4X^2+9Y^2-36=0

Resposta

A translação
x = X + 1, y = Y + 2
elimina os termos lineares, e no novo sistema de coordenadas a curva é
4X^2+9Y^2=36

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