Seja o ponto P(6,4). Efetuando-se uma rotação de um ângulo de pi3 radianos nos eixos, determinar as coordenadas do ponto P, em relação ao novo sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto P=(6,4) no sistema de coordenadas original e pede as coordenadas de P após uma rotação do sistema de eixos em varphi=pi3. O conteúdo é transformação de coordenadas por rotação de eixos e vamos precisar da relação entre (x,y) no sistema antigo e (x',y') no sistema girado.

Passo 2

Para rotação de eixos em ângulo varphi (eixos giram positivamente), as coordenadas (x',y') do mesmo ponto satisfazem
x = x'cosvarphi - y'sinvarphi,
y = x'sinvarphi + y'cosvarphi
Invertendo essas equações (isolando x' e y'), obtemos
x' = xcosvarphi + ysinvarphi,
y' = -,xsinvarphi + ycosvarphi

Passo 3

No nosso caso varphi=pi3. Logo
cosvarphi = cospi3 = tfrac12, sinvarphi = sinpi3 = tfracraiz32

Passo 4

Substituindo x=6, y=4, cosvarphi e sinvarphi nas fórmulas de x' e y':
x' = 6cdottfrac12 ;+; 4cdottfracraiz32 = 3 + 2raiz3,
y' = -,6cdottfracraiz32 ;+; 4cdottfrac12 = -3raiz3 + 2

Resposta

As coordenadas de P no sistema girado em pi3 são
l(x',y'r) = l(3 + 2raiz3,;2 - 3raiz3r)

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