O ponto A=(1,-1,2) é um dos vértices de um cubo e plano x-2 y+3 z-5=0 é um plano diagonal desse cubo. Determine:
a) O vértice oposto ao vértice A em relação ao plano diagonal.
b) O volume do cubo.

Passo 1

O enunciado diz que A=(1,-1,2) é um vértice de um cubo e que o plano
x - 2y + 3z - 5 = 0
é um plano diagonal desse cubo, ou seja, é um plano de simetria que contém duas diagonais paralelas de faces. Em particular, refletir A nesse plano leva a outro vértice do cubo, digamos B, e a distância AB vale raiz2 vezes a aresta s do cubo. Vamos usar:
1. Fórmula da reflexão de um ponto em um plano.
2. Propriedade de plano diagonal: AB = sraiz2.
3. Cálculo do volume V = s^3.

Passo 2

Calcular a reflexão de A no plano. Seja n=(1,-2,3) o vetor normal ao plano e D=|n|^2=1^2+(-2)^2+3^2=14. O valor ncdot A -5 é
1 -2cdot(-1) +3cdot2 -5 = 1+2+6-5 = 4
A projeção de A sobre a normal vale dfrac4D,n = dfrac414(1,-2,3) = l(tfrac27,-tfrac47,tfrac67r).
Refletindo,
B ;=; A ;-;2cdot414,n ;=;(1,-1,2);-;l(tfrac47,-tfrac87,tfrac127r) ;=;l(tfrac37,,tfrac17,,tfrac27r)

Passo 3

Determinar a aresta s. A distância de A ao plano é
d(A,plano) =|ncdot A -5||n| =4raiz14
Como refletimos em um plano diagonal de cubo, a distância entre A e B é
AB = 2,d(A,plano) =2cdot4raiz14 =8raiz14
e deve igualar ao comprimento da diagonal de face, isto é,
AB = sraiz2
Logo
s = ABraiz2 = 8raiz14,raiz2 = 8raiz28 = 4raiz7

Passo 4

Calcular o volume do cubo:
V = s^3 = l(4raiz7r)^3 = 647raiz7 = 64raiz749

Resposta

a) B=l(tfrac37,,tfrac17,,tfrac27r)
b) V=64raiz749

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