O ponto
é um dos vértices de um cubo e plano
é um plano diagonal desse cubo. Determine:
a) O vértice oposto ao vértice
em relação ao plano diagonal.
b) O volume do cubo.
a) O vértice oposto ao vértice
b) O volume do cubo.
Passo 1
O enunciado diz que
é um vértice de um cubo e que o plano
é um plano diagonal desse cubo, ou seja, é um plano de simetria que contém duas diagonais paralelas de faces. Em particular, refletir
nesse plano leva a outro vértice do cubo, digamos
, e a distância
vale
vezes a aresta
do cubo. Vamos usar:
. Fórmula da reflexão de um ponto em um plano.
. Propriedade de plano diagonal:
.
. Cálculo do volume
.
Passo 2
Calcular a reflexão de
no plano. Seja
o vetor normal ao plano e
. O valor
é
A projeção de
sobre a normal vale
.
Refletindo,
Refletindo,
Passo 3
Determinar a aresta
. A distância de
ao plano é
Como refletimos em um plano diagonal de cubo, a distância entre
e
é
e deve igualar ao comprimento da diagonal de face, isto é,
Logo
Passo 4
Calcular o volume do cubo:
Resposta
a)
b)
b)