Calcule o ângulo entre a reta r1:(0,0,0)+t(1,0,-1), t in R e a reta r2 que passa pelos pontos P=(2,0,2) e Q=(1,3,1).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em R^3. Para isso vamos usar produto escalar de vetores e módulos, pois o ângulo theta entre direções v1 e v2 satisfaz
costheta = v1 cdot v2|v1|;|v2|

Passo 2

Identificamos os vetores diretores:
a reta r1 tem direção
v1 = (1,0,-1),
e a reta r2 que passa por P=(2,0,2) e Q=(1,3,1) tem direção
v2 = Q - P = (1-2,;3-0,;1-2) = (-1,3,-1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
v1 cdot v2 = (1)(-1) + (0)(3) + (-1)(-1) = -1 + 0 + 1 = 0

Passo 4

Calculamos os módulos:
|v1| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2, |v2| = raiz(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz11

Passo 5

Substituindo em costheta:
costheta = 0raiz2,raiz11 = 0
logo
theta = arccos(0) = pi2,
ou em graus theta = 90^circ.

Resposta

theta = dfracpi2 (ou 90^circ).

Exercícios relacionados