Considere o plano pi: 3 x-raiz3 y+2 z=0.
Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal de R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano pi:3x-raiz3y+2z=0 e pede uma base ortonormal de R^3 que complete a base do plano. Vamos escolher dois vetores independentes em pi, aplicar Gram–Schmidt para ortonormalizá-los, e em seguida normalizar o vetor normal ao plano para obter o terceiro vetor.

Passo 2

Escolhemos dois vetores que satisfazem a equação do plano. Por exemplo,
v1 = (raiz3,,3,,0),
pois
3raiz3-raiz3cdot3+2cdot0=0,
e
v2 = (0,,2,,raiz3),
pois
3cdot0-raiz3cdot2+2raiz3=0
Assim v1,v2 é uma base de pi.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2:
  1. Definimos u1 = v1.
    |u1| = raiz(raiz3)^2+3^2+0^2 = 2raiz3, e1 = u1|u1| = l(tfracraiz32raiz3,,tfrac32raiz3,,0r) = l(tfrac12,,tfracraiz32,,0r)
  2. Subtraímos de v2 sua projeção sobre u1:
    proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=|u1|^2,u1 = 612,u1 = tfrac12(raiz3,3,0) = l(tfracraiz32,tfrac32,0r)
    Logo
    u2 = v2 - proju1(v2) = l(0,2,raiz3r) - l(tfracraiz32,tfrac32,0r) = l(-tfracraiz32,tfrac12,raiz3r)
    Como |u2| = 2, temos
    e2 = u2|u2| = l(-tfracraiz34,,tfrac14,,tfracraiz32r)

Passo 4

O terceiro vetor é o vetor normal ao plano, dado pelo gradiente de 3x-raiz3y+2z:
n = (3,,-raiz3,,2), |n| = raiz9+3+4 = 4, e3 = n|n| = l(tfrac34,,-tfracraiz34,,tfrac12r)

Resposta

Uma base ortonormal de R^3 compatível com o plano pi é
e1 = l(tfrac12,,tfracraiz32,,0r), e2 = l(-tfracraiz34,,tfrac14,,tfracraiz32r), e3 = l(tfrac34,,-tfracraiz34,,tfrac12r)

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