Considere o plano pi: x+2 y+z=0. Determine:
Uma base U1, U2, U3 de R^3 tal que U1 e U2 pertençam a pi.

Passo 1

O enunciado pede uma base U1,U2,U3 de R^3 tal que U1 e U2 pertençam ao plano
pi: x + 2y + z = 0
O conteúdo é encontrar dois vetores independentes que satisfaçam a equação do plano (ou seja, formem uma base de pi, que é de dimensão 2) e um terceiro vetor que seja linearmente independente desses dois (por exemplo, o vetor normal ao plano).

Passo 2

Para achar vetores em pi, fazemos a parametrização
x + 2y + z = 0 Longrightarrow x = -2y - z
Tomando parâmetros y = s e z = t, um vetor genérico de pi é
l(x,y,zr) = l(-2s - t,;s,;tr) = s,(-2,1,0) ;+; t,(-1,0,1)
Escolhemos então
U1 = (-2,1,0), U2 = (-1,0,1),
que são claramente independentes e satisfazem x+2y+z=0.

Passo 3

Para o terceiro vetor U3, basta escolher qualquer vetor fora do plano. O vetor normal de pi é
n = (1,2,1),
pois 1cdot x + 2cdot y + 1cdot z é a forma do plano. Logo, podemos definir
U3 = (1,2,1)

Passo 4

Vale conferir que U1,U2,U3 é de fato base de R^3. O determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é
det -2 & -1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 = 4 neq 0,
logo são linearmente independentes e formam base.

Resposta

Uma possível escolha é
U1 = (-2,1,0), U2 = (-1,0,1), U3 = (1,2,1)

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