Mostre que os pontos e são vértices de um paralelogramo. Calcule sua área.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos em :
e pede para mostrar que eles formam um paralelogramo e calcular sua área. Vamos usar geometria vetorial: provaremos que os vetores dos lados opostos são iguais (logo paralelos e congruentes) e depois obteremos a área como o módulo do produto vetorial de dois lados adjacentes.
Passo 2
Calculemos os vetores dos possíveis lados opostos:
WZ=Z-W=(4-2,;3-1,;6-3)=(2,2,3),
XW=W-X=(2-4,;1-0,;3-1)=(-2,1,2),
YZ=Z-Y=(4-6,;3-2,;6-4)=(-2,1,2)
Passo 3
Como XY=WZ
e XW=YZ,
os pares de lados opostos são paralelos e de mesma medida. Portanto X Y Z W é um paralelogramo.
Passo 4
Para achar a área do paralelogramo, escolhemos dois lados adjacentes, por exemplo vec a=XY=(2,2,3)
e vec b=XW=(-2,1,2),
e usamos
área = llvert vec a times vec brrvert á
O produto vetorial é
vec a times vec b = i & j & k 2 & 2 & 3 -2 & 1 & 2 =(2cdot2 - 3cdot1),i ;-;(2cdot2 - 3cdot(-2)),j ;+;(2cdot1 - 2cdot(-2)),k =(1,-10,6)