Mostre que os pontos X=(4,0,1), Y=(6,2,4), Z=(4,3,6) e W=(2,1,3) são vértices de um paralelogramo. Calcule sua área.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
X=(4,0,1), Y=(6,2,4), Z=(4,3,6), W=(2,1,3),
e pede para mostrar que eles formam um paralelogramo e calcular sua área. Vamos usar geometria vetorial: provaremos que os vetores dos lados opostos são iguais (logo paralelos e congruentes) e depois obteremos a área como o módulo do produto vetorial de dois lados adjacentes.

Passo 2

Calculemos os vetores dos possíveis lados opostos:
XY=Y-X=(6-4,;2-0,;4-1)=(2,2,3),
WZ=Z-W=(4-2,;3-1,;6-3)=(2,2,3),
XW=W-X=(2-4,;1-0,;3-1)=(-2,1,2),
YZ=Z-Y=(4-6,;3-2,;6-4)=(-2,1,2)

Passo 3

Como
XY=WZ
e
XW=YZ,
os pares de lados opostos são paralelos e de mesma medida. Portanto X Y Z W é um paralelogramo.

Passo 4

Para achar a área do paralelogramo, escolhemos dois lados adjacentes, por exemplo
vec a=XY=(2,2,3)
e
vec b=XW=(-2,1,2),
e usamos
área = llvert vec a times vec brrvert á
O produto vetorial é
vec a times vec b = i & j & k 2 & 2 & 3 -2 & 1 & 2 =(2cdot2 - 3cdot1),i ;-;(2cdot2 - 3cdot(-2)),j ;+;(2cdot1 - 2cdot(-2)),k =(1,-10,6)

Passo 5

O módulo desse vetor é
raiz1^2 + (-10)^2 + 6^2 =raiz1 + 100 + 36 =raiz137
Logo, a área do paralelogramo é raiz137.

Resposta

Eles são vértices de um paralelogramo, e sua área é raiz137.

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