Calcule o ângulo theta entre a reta r e o plano pi nos seguintes casos:
(1) r: x=y=z e pi: z=0.
(2) r: X=(0,0,1)+lambda(-1,1,0) e pi: 3 x+4 y=0.
(3) pi: x+y-z-1=0 e
r:l x=1+lambda y=lambda z=-2 lambda

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o ângulo theta entre uma reta r e um plano pi. Para isso vamos usar geometria analítica no espaço e precisamos extrair o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano.

Passo 2

A fórmula geral para o ângulo theta entre reta de direção u e plano de normal n é dada por
sintheta = l|ncdot ur||n|;|u|,
depois basta calcular theta=arcsin(dots) no intervalo [0,90^circ].

Passo 3

Caso (1): reta rcolon x=y=z implica u=(1,1,1) e plano picolon z=0 tem n=(0,0,1). Calculamos
ncdot u=1, |u|=raiz3, |n|=1,
logo
sintheta=1raiz3 Longrightarrow theta=arcsin1raiz3approx35,26^circ

Passo 4

Caso (2): reta rcolon X=(0,0,1)+lambda(-1,1,0) tem u=(-1,1,0) e plano picolon 3x+4y=0 tem n=(3,4,0). Logo
ncdot u=1, |u|=raiz2, |n|=5,
portanto
sintheta=15raiz2 Longrightarrow theta=arcsin15raiz2approx8,13^circ

Passo 5

Caso (3): plano picolon x+y-z-1=0 tem n=(1,1,-1) e reta
rcolon x=1+lambda, y=lambda, z=-2lambda
tem u=(1,1,-2). Calculamos
ncdot u=4, |u|=raiz6, |n|=raiz3,
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sintheta=4raiz18=2raiz23 Longrightarrow theta=arcsin2raiz23approx70,53^circ

Resposta

(1) thetaapprox35,26^circ
(2) thetaapprox8,13^circ
(3) thetaapprox70,53^circ

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