Determine todas os elementos neutros à direita no conjunto E=(lla & 0 b & 0) / a, b in R, para a operação de multiplicação.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os elementos neutros à direita no conjunto
E = a & 0 b & 0mid a,binR
com a operação de multiplicação usual de matrizes. Isso envolve achar todas as matrizes ein E tais que, para todo xin E, vale x,e = x.

Passo 2

Seja um elemento genérico de E
e = c & 0 d & 0,
com c,dinR. Precisamos de
x,e = x
para todo
x = a & 0 b & 0in E

Passo 3

Calculemos o produto
x cdot e = a & 0 b & 0 c & 0 d & 0 = a cdot c + 0 cdot d & a cdot 0 + 0 cdot 0[6pt] b cdot c + 0 cdot d & b cdot 0 + 0 cdot 0 = a cdot c & 0 b cdot c & 0 ]

Passo 4

Queremos
a,c & 0 b,c & 0 = a & 0 b & 0
para todo a,b. Comparando entradas, obtemos as condições
a,c = a e b,c = b
para todos a,binR.

Passo 5

As igualdades a,c = a e b,c = b para todo a,b implicam
c = 1
Note que o parâmetro d não aparece em nenhuma condição, então ele fica livre.

Resposta

Todos os neutros à direita em E são as matrizes da forma
1 & 0 d & 0,
com dinR.

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