Considere a transformação linear definida pela lei de formação abaixo:
Injetividade e Sobrejetividade:
Determine se T é sobrejetiva. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^6to R^3
por
Tl(x1,x2,x3,x4,x5,x6r) =l(x1+x2,,x3-x4,,x5+x6r)
O conteúdo é transformações lineares e vamos usar a definição de sobrejetividade para decidir se todo vetor em R^3 tem pelo menos um antecessor em R^6.
Passo 2
Lembrando a definição: T é sobrejetiva se, para todo yin R^3, existe xin R^6 tal que
T(x)=y
Em outras palavras, a imagem de T deve ser todo R^3.
Passo 3
Seja um vetor arbitrário
Queremos encontrar
tal que . Basta escolher, por exemplo,
Passo 4
Ao aplicar em obtemos
Isso mostra que qualquer tem um antecessor em , logo e .
Resposta
Sim. T é sobrejetiva, pois para todo yin R^3 encontramos xin R^6 com T(x)=y.