Considere a transformação linear T: R^6 R^3 definida pela lei de formação abaixo:
T[l x1 x2 x3 x4 x5 x6 ]=[l x1+x2 x3-x4 x5+x6 ]
Injetividade e Sobrejetividade:
Determine se T é sobrejetiva. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^6to R^3
por
Tl(x1,x2,x3,x4,x5,x6r) =l(x1+x2,,x3-x4,,x5+x6r)
O conteúdo é transformações lineares e vamos usar a definição de sobrejetividade para decidir se todo vetor em R^3 tem pelo menos um antecessor em R^6.

Passo 2

Lembrando a definição: T é sobrejetiva se, para todo yin R^3, existe xin R^6 tal que
T(x)=y
Em outras palavras, a imagem de T deve ser todo R^3.

Passo 3

Seja um vetor arbitrário
Queremos encontrar

tal que . Basta escolher, por exemplo,

Passo 4

Ao aplicar em obtemos
Isso mostra que qualquer tem um antecessor em , logo e .

Resposta

Sim. T é sobrejetiva, pois para todo yin R^3 encontramos xin R^6 com T(x)=y.

Exercícios relacionados