Considere a transformação linear T: R^6 R^3 definida pela lei de formação abaixo:
T[l x1 x2 x3 x4 x5 x6 ]=[l x1+x2 x3-x4 x5+x6 ]
Determinação do Núcleo e da Imagem:
Encontre o núcleo (ou espaço nulo) de T.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^6toR^3 por
Tl(x1,x2,x3,x4,x5,x6r) =l(x1+x2,;x3-x4,;x5+x6r)
e pede o núcleo, isto é
ker(T)=,xinR^6mid T(x)=0
Para achar o núcleo, vamos resolver o sistema homogêneo dado pelas três equações.

Passo 2

Escrevendo
Dessas equações vemos imediatamente as relações
Logo podemos escolher como variáveis livres
como

Passo 3

Fatorando pelos parâmetros x1, x3, x5, temos
l(x1,,-x1,;x3,;x3,;x5,,-x5r) =x1,(1,-1,0,0,0,0) ;+;x3,(0,0,1,1,0,0) ;+;x5,(0,0,0,0,1,-1)
Portanto
ker(T) =span (1,-1,0,0,0,0),; (0,0,1,1,0,0),; (0,0,0,0,1,-1) ,
que é um subespaço de dimensão 3 em R^6.

Resposta

ker(T) =l(x1,-x1,x3,x3,x5,-x5)mid x1,x3,x5inRr =span (1,-1,0,0,0,0),; (0,0,1,1,0,0),; (0,0,0,0,1,-1)

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