Calcule o ângulo entre as retas:
r1: & x=2-t & y=3-t & z=-4+2 t e r2: x+2-2=y-31=z1

Passo 1

O enunciado fornece duas retas no espaço e pede o ângulo entre elas. Esse é um problema de geometria analítica em 3D, e para resolver precisamos extrair os vetores diretores de cada reta e usar o produto escalar para achar o ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor vec v1 da reta
r1:;x=2-t,;y=3-t,;z=-4+2t
observando que ao variar t em r1 o incremento em (x,y,z) é (-1,-1,2). Logo,
vec v1=(-1,-1,2)
Para a reta
r2:;x+2-2=y-31=z1,
o parâmetro s gera o incremento (-2,1,1), logo
vec v2=(-2,1,1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar entre vec v1 e vec v2:
vec v1cdot vec v2 =(-1)(-2)+(-1)(1)+(2)(1) =2-1+2 =3

Passo 4

Calculamos os comprimentos (normas) de vec v1 e vec v2:
|vec v1|=raiz(-1)^2+(-1)^2+2^2=raiz6, |vec v2|=raiz(-2)^2+1^2+1^2=raiz6

Passo 5

Usamos a fórmula do cosseno do ângulo theta entre vetores:
costheta =l|vec v1cdot vec v2r||vec v1|;|vec v2| =3raiz6,raiz6 =36 =12
Assim,
theta=arccos!l(tfrac12r)=60^circ

Resposta

O ângulo entre as retas é 60^circ.

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