Calcule a distância do ponto P(1,0,1) à reta r:(0,0,3)+t(1,2,0)=(t, 2 t, 3), onde t in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(1,0,1) à reta
r: (0,0,3)+t,(1,2,0)=(t,2t,3), tinR
O conteúdo é a distância ponto–reta em R^3, que usa a fórmula
dist(P,r);=;|(P-P0)times d||d|,
onde P0 é um ponto na reta e d seu vetor diretor.

Passo 2

Escolhemos P0=(0,0,3) e o vetor diretor
d=(1,2,0)
Então o vetor
v = P - P0 = (1,0,1) - (0,0,3) = (1,0,-2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
v times d = i & j & k [6pt] 1 & 0 & -2 [3pt] 1 & 2 & 0 = (0cdot0 - (-2)cdot2),i - (1cdot0 - (-2)cdot1),j + (1cdot2 - 0cdot1),k = (4,,-2,,2)
Dessa forma
|vtimes d| = raiz4^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz16 + 4 + 4 = raiz24 = 2raiz6
]

Passo 4

O módulo de d é
|d| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 = raiz5
Substituindo na fórmula da distância:
dist(P,r) = |vtimes d||d| = 2raiz6raiz5 = 2raiz305

Resposta

A distância de P à reta r é 2raiz6raiz5, ou, racionalizando, 2raiz305.

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