Determine a posição relativa entre as retas:
r:lx=2+m y=3+2 m z=1-2 m e s:lx=5-3 m^prime y=2-6 m^prime z=2+6 m^prime

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3 definidas pelas equações paramétricas
r: x=2+m, y=3+2m, z=1-2m, s: x=5-3m', y=2-6m', z=2+6m',
e pede para determinar a posição relativa entre elas (paralelas, coincidentes ou concorrentes).

Passo 2

Extraímos um ponto e um vetor diretor de cada reta.
Para r, um ponto é A=(2,3,1) e o vetor diretor é
v=(1,2,-2)
Para s, um ponto é B=(5,2,2) e o vetor diretor é
w=(-3,-6,6)

Passo 3

Testamos se v e w são colineares, ou seja, se existe lambda tal que w=lambdav.
Observamos que
(-3,-6,6)=-3,(1,2,-2),
logo w=-3,v e as retas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas).

Passo 4

Para verificar se as retas coincidem ou são simplesmente paralelas distintas, checamos se o vetor AB=B-A=(3,-1,1) é colinear a v.
Procurar t tal que
(3,-1,1)=t,(1,2,-2)
daria t=3 na primeira coordenada, mas então 2t=6neq -1 na segunda, prova de que não há t que satisfaça todas as coordenadas. Logo não há interseção.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas.

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