Calcule o ângulo entre as retas r e s sabendo que r:lx=1+2 t y=2-t z=-2+t e s:ly=9-2 x z=-163+3 x. Essas retas possuem algum ponto em comum?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas aqui, a reta r e a reta s . A missão é calcular o ângulo entre elas e descobrir se elas se cruzam em algum ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e produto escalar para achar o ângulo, e resolver um sistema de equações para ver se há um ponto em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A forma paramétrica da reta [r) nos dá diretamente o vetor diretor.
Para a reta :
O vetor diretor da reta .
Agora, para a reta , as equações estão em função de , então vamos reescrevê-las em termos de um parâmetro, digamos .
Para a reta :
Vamos definir (x = t]. Assim, temos:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos calcular o ângulo entre elas usando o produto escalar. A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores u e v é:
cos theta = u cdot v||u|| , ||v||
Vamos calcular o produto escalar vr cdot vs :
vr cdot vs = (2)(1) + (-1)(-2) + (1)(3) = 2 + 2 + 3 = 7
Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
||vr|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
||vs|| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14
Agora, substituímos na fórmula do cosseno:
cos theta = 7raiz6 cdot raiz14 = 7raiz84 = 72raiz21 = 7raiz2142 = raiz216
Finalmente, para encontrar o ângulo theta :
theta = arccos( raiz216 ) approx 26,565^circ

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas [r) e têm algum ponto em comum. Isso significa resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas.
Temos para a reta :
E para a reta (s]:
Para encontrar um ponto em comum, igualamos as coordenadas:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em função de :
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos :
Vamos verificar na terceira equação:
Isso não faz sentido, então não há solução para o sistema. Ou seja, as retas e não têm nenhum ponto em comum.

Resposta

O ângulo entre as retas r e s é aproximadamente 26,565^circ e as retas não possuem nenhum ponto em comum.

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