Determine a equação reduzida de duas parábolas cujo foco é F=(-2,3),|p|=4 e diretriz paralela ao eixo x. Adicionalmente esboce uma destas parábolas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de duas parábolas que têm o foco em F=(-2,3) , com |p| = 4 e a diretriz paralela ao eixo x . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos entender a relação entre o foco, a diretriz e o parâmetro p para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. O parâmetro p representa a distância entre o foco e o vértice da parábola.

Passo 3

Sabendo que a diretriz é paralela ao eixo x , isso significa que a parábola é vertical, ou seja, ela abre para cima ou para baixo. A forma geral da equação de uma parábola vertical com vértice em (h,k) é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, p determina se a parábola abre para cima ( p > 0 ) ou para baixo ( p < 0 ).

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • O foco F = (-2, 3) , então h = -2 e k + p = 3 .
  • O valor de |p| = 4 , então p = 4 ou p = -4 .
Vamos encontrar k para cada caso.

Passo 5

Primeiro, para p = 4 (parábola abre para cima):
k + 4 = 3
k = 3 - 4
k = -1
Agora, substituindo h , k e p na equação geral:
(x - (-2))^2 = 4 times 4 times (y - (-1))
(x + 2)^2 = 16(y + 1)

Passo 6

Agora, para p = -4 (parábola abre para baixo):
k - 4 = 3
k = 3 + 4
k = 7
Substituindo h , k e p na equação geral:
(x - (-2))^2 = 4 times (-4) times (y - 7)
(x + 2)^2 = -16(y - 7)

Resposta

As equações reduzidas das duas parábolas são:
(x + 2)^2 = 16(y + 1)
e
(x + 2)^2 = -16(y - 7)

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