Determine a equação reduzida de duas parábolas cujo foco é
e diretriz paralela ao eixo
. Adicionalmente esboce uma destas parábolas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de duas parábolas que têm o foco em
, com
e a diretriz paralela ao eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos entender a relação entre o foco, a diretriz e o parâmetro
para montar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. O parâmetro
representa a distância entre o foco e o vértice da parábola.
Passo 3
Sabendo que a diretriz é paralela ao eixo
, isso significa que a parábola é vertical, ou seja, ela abre para cima ou para baixo. A forma geral da equação de uma parábola vertical com vértice em
é:
Aqui,
determina se a parábola abre para cima (
) ou para baixo (
).
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos:
- O foco
, então e . - O valor de
, então ou .
Vamos encontrar
para cada caso.
Passo 5
Primeiro, para
(parábola abre para cima):
Agora, substituindo
,
e
na equação geral:
Passo 6
Agora, para
(parábola abre para baixo):
Substituindo
,
e
na equação geral:
Resposta
As equações reduzidas das duas parábolas são:
e